Hogyan lehet pontos kiszámolás nélkül bebizonyítani, hogy 1+1/2+1/3+1/4+1/5. +1/64 nagyobb, mint 4?

1=1 és 1/2=1/2, ez gondolom tiszta.

1/3+1/4 biztos, hogy nagyobb 2*1/4-nél, ami 1/2

1/5+1/6+1/7+1/8 biztos, hogy nagyobb, mint 4*1/8, ami 1/2

1/9+1/10+...+1/16 biztos, hogy nagyobb, mint 8*1/16, ami 1/2

1/17+1/18+...+1/32 biztos, hogy nagyobb, mint 16*1/32, ami 1/2

1/33+1/34+...+1/64 biztos, hogy nagyobb, mint 32*1/16, ami 1/2

Az alsó becsléseket összeadjuk: 1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2=4, tehát az összegnek muszáj többnek lennie 4-nél.

Egyébként ezzel a módszerrel bizonyítjuk azt is, hogy a sum (i=1->végtelen) 1/i összeg divergens, tehát hogyha az összes ilyen alakú számot összeadunk, akkor az összegnek nem lesz felső határa.

Ha a harmonikus összeg n-ik tagját jelölöd H(n)-nel akkor könnyű belátni hogy a H(n)-log n sor növekszik, a H(n)-log (n+1) pedig csökken, mivel a kettő különbsége tart 0-hoz ezért aztán közös határértékük, gamma jelöli, van valahol 1 - log 2 és 1 között. Tehát gamma + log n < Hn < gamma + log (n+1)

Szerencsére a 4 olyan durva megközelítés hogy a gammára tett első becslésünk, 1 - log 2 is elégséges, H(64) > 1 - log 2 + log 64 = 1 + ln 32 > 4 ha ln 32 > 3 az pedig igaz.

Ebben az a jó hogy ha pl. 4.5 vagy 4.7 -re kell bizonyítani akkor csak egy pontosabb gamma közelítésre van szükséged.