Mekkorák annak a szabályos sokszögnek a szögei, amelynek az átlóinak száma 100 és 200 között van?

Egy n csúcsú (konvex) sokszögnek n*(n-3)/2 darab átlója van, erre igaz, hogy

100<n*(n-3)/2<200 |*2

200<n*(n-3)<400, itt oldalanként meg kell oldani az egyenlőtlenséget:

1) 200<n*(n-3), tehát 0<n^2-3n-200, ha ennek kiszámoljuk a pozitív gyökét, azt kapjuk, hogy n=~15,72, és mivel tudjuk, hogy ez a függvény szigorúan monoton nő a gyöke utáni n-ekre, ezért n>=16 megoldása lesz az egyenlőtlenségnek.

Ugyanezt megcsináljuk a másik oldallal is:

n*(n-3)<400, tehát n^2-3n-400<0, ennek a gyöke n=~21,55, és az előbbire hivatkozva n<=21 lesz a megoldás.

A két egyenlőtlenséget összevetve a 16, 17, 18, 19, 20 és 21 megoldásokat kapjuk, tehát 16-, 17-, 18-, 19-, 20- és 21-szögekre igaz az állítás.

Egy szabályos sokszögnek egy belső szögének nagysága 180°*(n-2)/n, ide a kapott n-eket behelyettesítve és kiszámolva megkapjuk a szögeket.

[link]

100>n(n-3)/2<200 n=22?