Egy paralelogramma egyik átlójának hossza 12 cm. Az adott átló a paralelogramma egyik szögét 26° 42' és 35° 24' szögekre osztja. Számítsuk ki a paralelogramma oldalainak hosszát?

A jelölések értelmezéséhez az ábra

[link]

Mi az, ami az esetek többségében az ilyen feladatoknál azonnal beugrik: a koszinusz tétel. (1. ábra)

Nosza rajta

A két oldalra írható:

b² = a² + e² - 2ae*cosα

a² = b² + e² - 2be*cosß

az átlóra

e² = a² + b² - 2ab*cos[180 - (α - ß)]

Ez így szépen néz ki, de csak mazochistáknak ajánlom a feladat ezúton történő megoldását. :)

Valami egyszerűbbet kell keresni.

Az oldalakra felírt egyenletek összeadása után az

e = a*cosα + b*cosß

összefüggés adódik.

A geometriai feladatoknál sokszor célszerű megvizsgálni egy összefüggés geometriai tartalmát. (2. ábra)

Jelen esetben ez arra vezet, hogy az előző összefüggés az ABC háromszög 'e' oldalának összegét jelenti.

Ez egy egyszerű, kellemes kis összefüggés, célszerű keresni hozzá még egyet és máris közel a megoldás.

A jelzett háromszögben egy oldal és két szög ismeretében a szinusz tétel értelmében írható:

a*sinα = b*sinß

A két egyenlet tehát

e = a*cosα + b*cosß

a*sinα = b*sinß

Két ismeretlenhez két egyenlet, a célegyenesben vagyunk!

A másodikból kifejezve az egyik oldalt, majd az elsőbe helyettesítve a szükséges átalakítások után a

b = e*sinα/sin(α+ ß)

és az

a = e*sinß/sin(α + ß)

megoldások adódnak.

Tulajdonképpen kész a feladat, de most is célszerű megvizsgálni a képletek geometriai tartalmát.

Mindkét egyenletet beszorozva sin(α + ß)-val adódik

b*sin(α + ß) = e*sinα

és

a*sin(α + ß) = e*sinß

A 3. ábrán látható, mit is jelentenek az összefüggések: az 'x' és 'y' hosszak két különböző oldallal történt kifejezését!

A rajz alapján írható:

x = b*sin(α + ß) = e*sinα

és

y = a*sin(α + ß) = e*sinß

A két jobb oldalból azonnal adódik a megoldás!

Tulajdonképpen egy megoldás gondolatmenetét szerettem volna ábrázolni, megmutatva, hogy nem mindig az első gondolat a legjobb, és ha már kellően gyakorlott valaki, eléggé "vájtszemű" a geometriához, sokkal egyszerűbben is megoldhat egy feladatot.

Ebben a példában elég az utolsó ábrán található összefüggéseket meglátni, és azonnal felírható a megoldás.

DeeDee

**********

A megoldás kb. négy éves, a benne szereplő link élő változata:

[link]

DeeDee

*******