Van egy a: x+2y-z+3 síkom, és M (-1,2, 0) koordinátájú pontom. Hogyan határozom meg az M pont szimmetrikusát a síkra nézve?

A sík egyenlete x + 2y - z + 3 = 0

Ebből direktben leolvasható, hogy a sík normálvektora n = (1, 2, -1)

A M pontból induló merőleges egyenes egyenlete vektoros formában: r = M + n·t

Vagyis egyenletrendszerben:

x = -1 + t

y = 2 + 2t

z = 0 - t

Ha ezt behelyettesítjük a sík egyenletébe, kijön a metszéspont "távolsága", vagyis hogy milyen t-nél jut el a merőleges egyenesen mozgó pont éppen a síkig:

(-1+t) + 2(2+2t) - (-t) + 3 = 0

6t + 6 = 0

t = -1

(Ez persze nem az igazi távolság, mert a normálvektor nem egységnyi hosszúságú, de ez nem számít. Azért tettem idézőjelbe a távolságot.)

Ha dupla ennyit megy az egyenesen mozgó pont, akkor a tükörpontba jut. Tehát t = -2:

x = -1 + (-2) = -3

y = 2 + 2(-2) = -2

z = 0 - (-2) = 2

Tehát M ' (-3, -2, 2)