Segítenél egy geometria feladat bizonyításában?

Megőrizve az ábrád jelöléseit, jelölje az AD oldal felezőpontját M, a BC oldal felezőpontját N.

Toljuk el az N kezdőpontba az AB szakaszt, ennek a végpontja legyen X! Ez azt jelenti, hogy keletkezik egy ABNX paralelogramma.

Hasonlóan, toljuk el N keződpontba a CD szakaszt is, a végpontja legyen Y! Ekkor tehát CDYN is paralelogamma.

AX tehát ugyanolyan hosszú (az ABNX paralelogrammából láthatóan), mint BN. Mivel N felezőpont, BN=NC. NC pedig ugyanolyan hosszú (a CDYN paralelogramma miatt), mint YD. Tehát AX=YD.

Mivel AX és YD egyaránt párhuzamos (az előző két paralelogrammából láthatóan) BC-vel, az XAM szög ugyanakkora, mint az MDY szög.

Végül, mivel M felezőpont, AM=MD.

Az előző három információból következik, hogy az AXM és DYM háromszögek egybevágóak. Ezért XM=MY.

Ekkor viszont az XMN és YMN háromszögek is egybevágóak, hiszen a megfelelő oldalpárjaik egyenlő hosszúak. (Itt használjuk ki a feltételt, hogy a szemköztes oldalak egyenlő hosszúak: ugyanis AB=XN, DC=YN, és a feltétel miatt AB=CD, így XN=YN.)

Tehát az XNM szög ugyanakkora, mint az YNM szög, azaz MN az XNY szög szögfelezője.

Viszont az AGD szög szárai párhuzamosak az XNY szög száraival, így MN párhuzamos AGD szögfelezőjével.

tl;dr

ha a CD szakaszt mozgatod az egyenesén úgy, hogy a két pont távolsága 'a' legyen, akkor az MN szakasz mindkét végpontja a mozgató vektor felével fog arrébb mozdulni => iránya nem változik.

Ha az AB és CD oldalakat is G-be tolod, akkor MN rákerül a szögfelezőre Q.E.D.