Valaki segítene megoldani a következő feladatot? Függvények: f (0;végtelen) -> R, f (x) =2009^x+log2009 (x), vizsgáljuk a f függvény monotonitását!

Intuitíven azért lehet érezni, hogy a logos tag túl sok vizet nem zavar, és mivel a 2009^x függvény szigorúan monoton növő, ezért a f függvény is az lesz.

Ha egy f(x) függvény szigorúan monoton növő, egy adott intervallumon, tetszőleges pozitív k-ra (ami nem visz ki az intervallumból) igaz, hogy f(x)<f(x+k). Legyen most k=1, ekkor be kell látni, hogy tetszőleges x-re

2009^x+log2009(x)<2009^(x+1)+log2009(x+1) |hatványozás azonossága miatt

2009^x+log2009(x)<2009*2009^x+log2009(x+1) |-2009^x; -log2009(x+1)

log2009(x)-log2009(x+1)<2008*2009^x

Mivel a log2009(x) logaritmusfüggvény szigorúan monoton növő, ezért a bal oldal mindig negatív lesz, a jobb oldal mindig pozitív, negatív<pozitív, tehát készen is vagyunk; a függvény szigorúan monoton nő az intervallumon.

_______________________

Ha már tanultál deriválni, akkor deriválni érdemes a függvényt:

f'(x)=2009^x*ln(2009)+1/(ln(2009)*x)

Ahol a derivált pozitív, ott a függvény szigorúan monoton növő. Az összeg mindkét tagja pozitív mindenhol, tehát a függvény is pozitív lesz mindenhol, így az eredeti függvény szigorúan monoton növő.