Hány ötjegyű és hány tizenkét jegyű szám van amelyben van két azonos számjegy?

Az összes 12-jegyűben van két azonos számjegy, hiszen nem lehet mind különböző (mert 10 számjegyünk van.)

Az ötjegyűek esetében az összesből a rosszakat kell kivonni:

9*10^4-9*9*8*7*6=62784

Igen ám, csakhogy a helyzet bonyolultabb, hogy ha kikötjük, hogy csak pontosan két azonos jegy van.

Tegyük fel, hogy a két azonos jegy az 1. Két eset lehetséges:

a) Az első 1 az első számjegy, a második 1 a másik négy jegy valamelyike.

b) Az első számjegy ne 1, tehát a többi négy között van a két 1.

Az a) esetben négy helyen lehet a második 1, a többi jegy, mivel egymástól is különböznek, 9*8*7-féleképpen "jöhet össze".

A b) esetben az első jegy 0 nem lehet, tehát 8 eset lehetséges, a többi négy jegy, mivel már lehet egy db 0 is, 8*7-féleképpen adódhat, a két 1 (4 alatt 2)-helyre tehető még "le".

Ugyanez a két eset áll fenn, ha a két azonos jegy 2, vagy 3, ... vagy 9.

Tehát ha a két azonos nem 0, akkor 9 * (4*9*8*7 + 8*8*7*(4 alatt 2)) ilyen ötjegyű szám van.

Hátravan még az az eset, ha a két azonos 0. Az első jegy nem 0, itt 9 db lehet. A másik kettő nem 0 között pedig 8*7. A két 0 szintén (4 alatt 2) helyre rakható.

Ezért összesen 9 * (4*9*8*7 + 8*8*7*(4 alatt 2)) + 9*8*7*(4 alatt 2) olyan ötjegyű szám van, amelyben pontosan két db azonos számjegy van.