Van 10 különböző kindertojásokban található figura. Veszünk 20db-ot ezekből. Mennyi az esélye, hogy a 20 vásárolt kindertojásban, nálunk lesz mind a 10 különböző figura?

Szerintem feltételezhető (és életszerű), hogy az általunk vásárolt mennyiségnél nagyságrendekkel több tojás van a piacon, ezért pár darab figura vásárlása gyakorlatilag nem módosítja az újboli vásárlás esélyét.

Pl. azon esetek száma, amikor valamelyik megadott 4 figura biztosan hiányzik: (10-4)^20 = 6^20;

Általában: azon esetek száma, amikor valamelyik megadott k figura biztosan hiányzik: (10-k)^20.

Összes eset: 10^20

Egyik sem hiányzik:

10^20 - C(10,1)⋅9^20 + C(10,2)⋅8^20 - C(10,3)⋅7^20 + … + C(10,8)⋅2^20 - C(10,9)⋅1^20 + C(10,10)⋅0^20

Ha feltesszük, hogy egyforma valószínűséggel vannak a figurák, akkor nem kell tudni, hogy hány tojásból vettünk 20-at...

A klasszikus valószínűségi modell szerint számoljunk:

Összes eset; mivel a tojások sorrendje nem számít, ezért ismétléses kombinációként kell számolnunk; mivel 20 tojásunk van, ezért n=20, 10 különféle, így k=10, így a képlet alapján ((20+10-1) alatt a (10-1))=(29 alatt a 9)-féle vásárlásunk lehet. Ez a legkönnyebben úgy jön ki, hogy táblázatba foglaljuk őket, 10 különböző figura van, így ezeket 9 "pálcika" választja el, a rubrikákba pedig "gombócokat" rajzolunk annak függvényében, hogy az adott figurából mennyi van. Ez azt jelenti, hogy ha ezt a 20 gombócot és 9 pálcikát az összes lehetséges módon permutáljuk, akkor az összes lehetőséget megkapjuk arra nézve, hogy melyik figurából mennyi van.

Kedvező eset: tegyük fel, hogy mindegyikből van 1, ekkor a maradék 10 tojásban akárhogy lehetnek a figurák, ami kell, az már meglesz. Ugyanazt a módszert alkalmazva ezekből (19 alatt a 9)-féle lehetőség lehet, ez lesz a kedvező esetek száma.

Így a valószínűség: (19 alatt a 9)/(29 alatt a 9)=92378/10015005=~0,922396%.

Én viszont a komplementer valószínűséget alkalmazom.

Nincs meg az egyik adott figura az egyik vásárolt tojásban, akkor még 9-féle figura lehet benne. Ha ugyanezen figura nincs meg a többiben sem, akkor ez 9*9*...*9 = 9^20 eset. Az összes eset: 10^20.

Így a valószínűség: 1 - 9^20/10^20.

A #4 vagyok.

A 3. válasz azért nem jó, mert számít a tojások sorrendje, hiszen mind különbözőek.

Hoppá, észrevettem, hogy a válaszomban én is tévedtem! Ugyanis csak az egyik kiválasztott figurát hagytam ki a komplementerben,, pedig összesen 10 van!

Így a helyes valószínűség:1 - 10*9^20/10^20.

Már miért lenne fontos a sorrend? ... Mert nem mindegy, hogy az első kettőben van sárga mikulás, többiben zöld víziló, vagy a harmadikban és a tizedikben van a sárga mikulás? ...

Egyébként pedig, ha jól tudom, akár sorrenddel számolunk, akár nem, a valószínűséget nem szokta befolyásolni.

Először én is az ismétléses kombinációra gondoltam, de valamiért mégis számít a sorrend.

Leegyszerűsítve a feladatot, legyen csak két figura A,B és csak 3 vétel.

A kérdés változatlan: mennyi annak az esélye, hogy mindkét fajta szerepel a három között.

Ha úgy okoskodunk, hogy AAA, AAB, ABB, BBB lehetőségek vannak, akkor négy esetből kettő, azaz ½ volna az esély,

márpedig AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA mindegyikében szerepel az összes figura és hiába nem vagyunk kíváncsiak a sorrendre, akkor is több, nyolc kimenetele lehet a vásárlásnak, melyből hat a kedvező eset, vagyis ¾ az esély.

Ekkor is érvényes a fent javasolt szita-formulás képlet:

C(2,0)⋅2^3 - C(2,1)⋅1^3 + C(2,2)⋅0^3 = 8-2+0 = 6 kedvező eset,

2^3 = 8 az összes eset.

(C(n,k) = "n alatt a k", zsebszámológépen: nCr)