Az alábbi feladatot kaptuk az egyetemen és nem nagyon értem, hogy kellene megoldani: m (x) = 1- (1/x) Közvetett függvényt kellene keresni: azaz m°m-t de úgy, hogy m°m°m. M (azaz n-szer ) Hogy kellene ezt megoldani?

Ha

> m(x)=1-1/x

akkor

> m°m = 1-1/(1-1/x) = 1/(1-x)

és

> m°m°m = 1/(1-(1-1/x)) = x (x \ne 0)

A kérdést le tudnád írni érthetőbben/máshogy?

És itt hol akadtál el? Ha azt kell meghatároznod hogy általában n-re mi a képlet, akkor megnézed az első néhány tagot, és meghatározod a szabályt. (?)

(más felé is el lehet indulni persze, de nem látok olyat, ami célra vezetne. Például megnézheted hogy egy nagyon hasonló függvényre mi lesz a képlet, aztán meghatározhatod hogy az eltérés mit változtat. Mondjuk hogy az m=1 függvényre mit ad. Ez az irány persze nem hoz gyümölcsöt.

Vagy azt nézed hogy a az m=(ax+b)/(cx+d) egy projektív transzformáció. Geometriailag is nézegetheted, hátha valami vetítés ezt adja, és hogy mi lesz ha iterálod. Meg, az sem elképzelhetetlen hogy x helyére valami szögfüggvényt (mittudomén tangensalfa?) kelljen írni, hátha ùgy jobban látszik a szabály. Vagy szimplán megszerkesztheted a függvénygrafikont geogebrában, és elvégezheted az iterációt kézzel (hiperbola és a tengelyek metszetét tudja kezelni szimbolikusan). Szóval ötletek vannak, persze nem vezetnek sehova.)

(csak azért írtam ilyen sokat, mert az első válaszból már látszódnia kell/kéne a szabálynak)

Tegyük fel x≠1 és x≠0.

Ha m(x) := 1- (1/x), akkor mοm(x)=1/(1 - x) és mοmοm(x)=x.

Jelöljük ο művelet hatványát °ˢ-el, ahol s egy pozitív egész szám. Ekkor m°ˢ(x)=m(x), ha s ≡ 1 (mod 3). Továbbá m°ˢ(x)=1/(1 - x) ha s ≡ 2 (mod 3) és m°ˢ(x)=x ha s ≡ 0 (mod 3). Sz. Gy.