Hogyan lehetne ezt megoldani?

A kockába írt gömb átmérője megegyezik a kocka oldalhosszúságával.

A gömbbe írt kocka átlója megegyezik a gömb átmérőjével, tehát az oldala pitagorasz tétel alapján (d²=a²+a², a²=d²/2) megegyezik a gömb átmérőjének √2/2 szeresével.

A kocka oldalhosszusága: a, √2/2a, √2/2(√2/2a), tehát (√2/2)^(n-1)*a

A gömb átmérője: a, √2/2a, √2/2(√2/2a), tehát (√2/2)^(n-1)*a ennek is.

A kocka térfogata: a³*2^(3(1-n)/2)

A gömb térfogata: a³*2^(3(1-n)/2)*π/6

Ezt össze kell adni n=1 től végtelenig.

A kockák térfogatának összege innen: 4a³/(4-√2)

A gömbök térfogatának összege: 2a³/(3(4-√2))

Elnézést, egy π lemaradt:

A gömbök térfogatának összege: 2πa³/(3(4-√2))

Mértani sor összege.

Kiszámolod, hogy hányszorosa lesz a második kocka térfogata az első kockáénak, ebből meg lesz a kvóciens. Még az első gömb térfogata kell majd, és akkor már jók vagyunk. (Ugye az első kocka térfogata az 1 lesz.)

Nekem a kockába írt gömb sugara az 1/2-re jön ki, az ebbe írt kocka testátlója pedig ugye a gömb átmérője lesz, ebből a második kocka élhossza 1/gyök(3). Így a második kocka térfogata q = 1/gyök(3)^3, az első gömb térfogata 4*π/3*1/2^3 = π/6.

Így a gömbök térfogatának összege

π/6/(1 – 1/gyök(3)^3),

a kockáké pedig

1/(1 – 1/gyök(3)^3).

(Érdemes lehet bővíteni gyök(3)^3-nel, és a gömbesetben még talán 6-tal is.)

Tényleg, a kocka oldala √3/3*a, hiszen nem két oldal és testátló, hanem egy oldal, egy lapátló, egy testátló a háromszög.

Annyiban módusul így, hogy:

A kocka térfogata a³*3^(3(1-n)/2)

A gömb térfogata:a³*3^(3(1-n)/2)*π/6

Az összegek pedig:

Kocka: 9a³/(9-√3)

Gömb: 3πa³/(2(9-√3))