Hogyan kell összetett függvényt deriválni?

Összetett függvény deriválása (láncszabály):

[link]

Példa:

Ha F(x) = f[g(x)] = [x^4]^3, akkor leírhatjuk:

g(x) = x^4,

f[g(x)] = [g(x)]^3

F(x) = [g(x)]^3

Ha ezt deriváljuk, akkor ezt ebben az esetben két lépcsőben csináljuk:

1. lépés: deriváljuk a “külső” függvényt, ami azt jelenti, hogy a belső részt békén hagyjuk és úgy deriválunk, mintha csak a külső részből állna a függvény:

d F(x)/d(gx) = d [g(x)]^3/d(gx) = 3*[g(x)]^2

2. lépés: deriváljuk a “belső” függvényt, ami azt jelenti, hogy most “utólag” még a “g(x)” részt is deriváljuk:

d g(x)/dx = x^4 = 4*x^3

3. lépés: összevonjuk az 1. és a 2. lépést:

d F(x)/dx = d F(x)/d(gx) * d g(x)/dx = 3*[g(x)]^2 * 4*x^3 = 3*[x^4]^2 * 4*x^3 =

= 3*x^8 * 4*x^3 = 12*x^11

Megjegyzés: ha f[g(x)] = [g(x)]^3, akkor f(x) = x^3 (csak a jobb érthetőség kedvéért írom ezt ide).

Egy másik (öszetettebb példa):

F(x) = f{g[h(x)]} = {g[h(x)]}^3 = {[h(x)^5]}^3 = {[x^7]^5}^3

h(x) = x^7

g[h(x)] = [h(x)]^5

f{g[h(x)]} = {g[h(x)]}^3

1. lépés: deriváljuk a “külső” függvényt:

d F(x)/dg[h(x)] = d {g[h(x)]}^3/dg[h(x)] = 3*{g[h(x)]}*^2

2. lépés: deriváljuk a “belső - középső” függvényt:

d g[h(x)]dh(x) = d [h(x)]^5/dh(x) = 5*[h(x)]^4

3. lépés: deriváljuk a “legbelső” függvényt:

d h(x)/dx = d x^7/dx = 7*x^6

4. lépés: összevonjuk az 1., 2. és a 3. lépést:

d F(x)/dx = d F(x)/dg[h(x)] * d g[h(x)]/dh(x) * d h(x)/dx =

= d {g[h(x)]}^3/dg[h(x)] * d [h(x)]^5/dh(x) * d x^7/dx =

= 3*{g[h(x)]}^2 * 5*[h(x)]^4 * 7*x^6 =

= 3*{[x^7]^5}^2 * 5*[x^7]^4 * 7*x^6 =

= 105*x^104