Hogyan oldjam meg ezt az egyenletet?

a)

2^(x+3) + 2^x = 36

2^x * 2^3 + 2^x = 36

2^x * (8 + 1) = 36

2^x = 4

x = 2, mert a 2^x függvény szigorúan monoton növő

b)

(3/4)^(x+2) = 2^(2x) / 3^x

(3/4)^(x+2) = (2^2)^x / 3^x

(3/4)^(x+2) = 4^x / 3^x

(3/4)^(x+2) = (4/3)^x

(3/4)^(x+2) = (3/4)^(-x)

x + 2 = -x, mert a (3/4)^x függvény szigorúan monoton csökkenő

2x = -2

x = -1

Tehát az a lényeg az ilyen feladatoknál, hogy azonos alapú hatvánnyá alakítsd az egyenlet mindkét oldalát. Ezután le kell írni, hogy az adott hatványfüggvény szigorú monotonitása (ha az alap kisebb mint 1, akkor csökkenő; ha nagyobb, akkor növő) miatt az értékek pontosan akkor egyenlőek, ha az argumentumok (a hatványkitevők) is egyenlőek.

Az átalakítások során különböző hatványozási azonosságokat kell felhasználni.

Az a) feladatnál:

a^(m+n) = a^m * a^n

A b) feladatnál:

a^(m*n) = (a^m)^n

a^n = 1 / a^(-n)