Hogyan kell megoldani komplex számos feladatot?

Hát ez így leírva töménynek nézhet ki, de talán ez a fajta megoldás a legegyszerűbb, ha megérted:

--A komplex számoknak többféle alakját is használhatjuk, amik ugyanazt(!) jelentik. A sima alakját (a+bi), a trigonometrikus alakját (r(cosx+isinx)) és az exponenciális alakját (r*e^(ix)).

--a+b*i-nél valós rész: a, képzetes rész: b

--a + b*i = r*(cosx + i*sinx), ahol r = gyök(a^2 + b^2), ahol r*cosx = a (valós rész), r*sinx = b (képzetes rész) teljesül. (tehát az x-et radiánban adod meg, hogy ez teljesüljön, általában típusfeladatoknál egységkörön nevezetes szögeket kell felismerni).

--r*(cosx + i*sinx) = r*e^(i*x)

(keress rá arra, hogy Euler-formula)

És akkor a megoldás:

r = gyök(2) = 2^(1/2), x = -pi/4

(1-1*i) = gyök(2)*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4)) = gyök(2)*e^(i*-pi/4)

(1-1*i)^5 = (gyök(2)*e^(i*-pi/4))^5 = 2^(5/2) * e^(5*i*-pi/4)= 2^(5/2) * (cos(-5/4*pi) + i*sin(-5/4*pi))

--a cos tagot megnézed egységkörön: -1/gyök(2) = -2^(-1/2)

--a sin tagot megnézed egységkörön: +1/gyök(2) = +2^(-1/2)

--az r tag 2^(5/2)

Tehát valós tag: r*cosx, képzetes tag: r*sinx

Azaz a megoldás:

a+b*i = r*cosx+r*sinx*i = -4 + 4*i

Ha nem hiszed, hogy így van:

[link]

Amit #1 ír, az is jó megoldás. Ott tudni kell, hogy i*i=-1, illetve hogy a binomiális tétellel akármilyen (a+b)^k-t le tudsz írni:

[link]

Csak az a gond vele, hogy nagyobb számoknál már nő az emberi hiba lehetősége. Pl. (1-i)^100-ont már biztos nem 5 perc lesz kiszámolni.