Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Hogyan oldjam ezt meg?

Hogyan oldjam ezt meg?

Figyelt kérdés

Mutassuk meg, hogy ha egy pozitív egész tagokból álló, nem konstans {an } számtani sorozatban van köbszám (egy pozitív egész szám harmadik hatványa), akkor van olyan köbszám is, amelyik nem négyzetszám (egy pozitív egész szám második hatványa).

#sorozat #feladat #házi #matematika #bizonyítás #számtani #négyzetszám #algebra #köbszám

2017. febr. 25. 22:23

1/1 Baluba

válasza:

Legyen d a sorozat differenciája. Mivel a sorozat pozitív és nem konstans, ezért d is pozitív.

Ekkor a sorozat elemei az egyik d szerinti maradékosztály (mondjuk a k maradékú), kivéve az első néhány tag (de ez minket nem zavar).

Számoljunk modulo d! Ekkor mivel az x^3 = k (mod d) kongruenciának van emgoldása, ezért egy teljes maradékoszály megoldása. Azaz van egy d differenciájú számtani sorozat, melynek minden tagjának a harmadik hatványa benne van az an sorozatban.

Mivel x^3 csak akkor négyzetszám, ha x négyzetszám, ezért elég azt belátni, hogy egy pozitív differenciájú számtani sorozat nem állhat csupa négyzetszámból. Ez pedig nagyon könnyne kijön például abból, hogy két szomszédos egész négyzete között nincs másik négyzetszám.

2017. febr. 27. 00:37