Hogyan lehet megoldani a következő feladatot? Számítsa ki a gyök alatt 4,2 közelítő értékét célszerű helyen felvett érintő egyenletének felhasználásával (lineáris közelítés).

A √x függvény x=4 pontjába húzott érintő x=4,2 helyen felvett értéke lesz a megoldás.

Az érintő meredeksége: (√x)'=1/(2√x), értéke az x=4 helyen: 1/(2√4)=1/4.

A √x függvény x=4 pontban felvett értéke: √4=2.

Az érintő egyenlete: y=1/4(x-4)+2=1/4x+1

Ha x=4,2: y=1/4∙4,2+1=2,05

(A tényleges értéke: √4,2=2,04939...)

Newton-approximáció:

Keressük az f(x)=0 egyenlet megoldását. Közelítsük ezt x_0-lal, ekkor a függvény közelítő egyenese:

f(x)\approx D(f)(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Legyen f(x_1)=0, ekkor

0\approx D(f)(x_0)(x_1-x_0)+f(x_0), rendezve

x_1=x_0\frac{f(x_0)}{D(f)(x_0)}, ekkor x_1 jobb közelítése a megoldásnak, mint x_0. Természetesen ennél jobb közelítést kapunk, ha ezt megismételjük x_1-gyel, stb...

Gyökvonásra tekintettel x^2-n=0 egyenletet kell megoldani, ekkor

x_1=x_0-\frac{x_0^2-n}{2x_0}=\frac{x_0^2+n}{2x_0}=\frac{x_0}{2}+{n}{2x_0}.

Ide behelyettesíted az n=4,2-et, és iterálsz.