Mi ennek az egyszerű kongruenciarendszernek a megoldása?

x ≡ 1 (mod 12) azt jelenti, hogy x=12k+1 valamilyen k egészre. k=4 esetén ez 49, ami igazolja, hogy a 7 is megoldás... Egyébként egy ilyet így kell megoldani:

x ≡ 1 (mod 12) => x=12k+1 valamilyen k egészre

12k+1 ≡ 7 (mod m)

12k ≡ 6 (mod m) Ebbe beleírogatva a megadott m-eket ki lehet próbálgatni, hogy melyikre van megoldás, és melyikre nincs: 2-re nyilván van, 7-re is, mint mutattam, 30-ra:

12k ≡ 6 (mod 30) / :6

2k ≡ 1 ≡ 6 (mod 5)

k ≡ 3 (mod 5), eszerint a 30 IS megoldás k=3-ra, és tényleg:

3*12+1=37, ami valóban 7 maradékot ad 30-cal osztva.

Illetve 8-ra:

12k ≡ 6 (mod 8) <=def.=> 8|12k+1 ez azonban nem lehet, mert 12k+1 mindig páratlan, így nem lehet a 8 osztója, vagyis m=8 esetén nincsen megoldás.