Indukcioval hogy bizonyitom be az alabbi allitast? 4| (7^n+10*n-5), n termeszetes szam

n=1-re igazolod:

4|7+10-5, ami igaz

tegyük fel, hogy n=k esetére teljesül

most írjuk fel az n=k+1 esetet:

7^(k+1)+10*(k+1)-5

ebben létrehozzuk az n=k esetet, és a "maradékról" nyilatkozunk:

7^(k+1)+10*(k+1)-5=

=7*7^k+10*k+10-5=

=7*(7^k+10*k-5)-60*k+40

most az első tag az n=k eset, a többi tag osztató 4-gyel

tehát, ha n=k eset osztható 4-gyel, akkor az n=k+1 eset

mivel n=1-re igazoltuk, ezért minden n poz. egész esetére igaz

Először belátod n=1-re. Behelyettesíted az n helyére az 1-t, ekkor 12-t kapsz, ami osztható néggyel.

Majd felteszed, hogy n=k-ra is igaz. Be kell látni, hogy ekkor n=k+1 esetén is igaz. Legyen f(k)=7^k+10*k-5. Az indukciós feltevésünk tehát az, hogy 4|f(k) és azt akarjuk belátni, hogy 4|f(k+1) is teljesül. Ehhez elég igazolnunk, hogy 4|(f(k+1)-f(k)). Könnyen kiszámolható, hogy f(k+1)-f(k)=6*7^k+10. A 10 néggyel osztva 2 maradékot ad, a 7^k páratlan, ezért 6*7^k páros lesz, de néggyel nem osztható (mert a 6 páros, de néggyel nem osztható), azaz ez is néggyel osztva 2 maradékot ad. Tehát 6*7^k+10 osztható néggyel, ezzel bebizonyítottuk az állítást.