Hol van egy sík körlap súlypontja? Hogyan kell kiszámolni, a levezetésre gondolok nem a konkrét képletre

> Hol van egy sík körlap súlypontja?

Nyilván a körlap középpontjánál.

Hogy lehet levezetni? A legegyszerűbben a szimmetriából. Akárhol is húzol egy a kör középpontján átmenő egyenest, a két félkör súlypontja – mivel egybevágóak – ugyanolyan messze lesznek a kör középpontjától. Vagy ha úgy tetszik, az egyik oldal egy adott felületrészéhez lehet pontosan találni a másik oldalon is egy felületrészt, ami ugyanolyan súlyú és ugyanolyan távolságra van, akárhogy is osztod részekre az egyik félkört, annak minden részletéhez megfeleltethető a másik oldalon is egy részlet, a másik oldalon ezen részletek nem fedik egymást, és kiadják a teljes félkört.

Persze lehetne itt integrálni is, csak teljesen felesleges lenne.

~ ~ ~

Hogy hogyan lehet egy adott kör középpontját megtalálni? Nos ez meg nagyban függ attól, hogy a kör hogyan van megadva.

Le van rajzolva?

Euklideszi szerkesztéssel rögtön két módszer is adódik:

1. Megint szimmetrikus okok miatt ha berajzolsz egy húrt, akkor az arra állított szakaszfelező merőleges átmegy a kör középpontján. Ha két húrt rajzolsz be, akkor a két húrra állított szakaszfelező merőleges metszéspontja megadja a kör középpontját.

2. Ennek egy speciális esete, ha berajzolsz egy húrt, arra állítasz egy szakaszfelező merőlegest, ezzel megkapod a kör egyik átmérőt. Erre állítva egy szakaszfelező merőlegest a kettő kimetszi a kör középpontját. (Ugye az átmérő a húr egy speciális esete.)

Nem euklideszi szerkesztéssel vannak egyéb módszerek is. Pl.: https://www.youtube.com/watch?v=UUL24IdUrkU

(Itt a második módszer a fenti első euklideszi módszer, a harmadik húr berajzolása tulajdonképpen felesleges, bár a pontatlanság miatt itt indokolt lehet.)

Vagy a kör egyenlete van megadva?

A kör általános egyenlete:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²

Akármilyen alakban is van az egyenlet megadva, erre a formára kell hozni, és akkor megkapod a kör középpontját: O(x₀,y₀).