Normális eloszlás: várhatóan hány szigmás lesz a legnagyobb eltérés a várható értéktől az n elemű mintában?

[link]

Sztem innen kell neked a 4.7.4

#1 linkje semmit nem ér, ami neked kell, az az extreme value theory, és az alábbi eloszlás-családok:

[link]

[link]

Ha pontosan akarod csinálni, akkor egy half-normal eloszlásra kell alkalmazni, mivel neked a legnagyobb abszolút szigma várható értéke kell. De egy sima normálra is jó eredményt fog adni, ha kétszeres elemszám mellett számolod.

A Gumbel műje 0 lesz, a béta n-től való függését lesd ki valahonnan, nekem most nincs időm.

Alternatív intuitív módszer: vedd az eloszlásfüggvényt (esetedben a standard normális eloszlásfüggvényt), és szeleteld fel az értékkészletet 1/(n+1) darabokra. Majd olvasd le, hogy 1/(n+1)-et és 1-1/(n+1)-et hol veszi fel.

Más szóval: az eloszlásfüggvény inverzét értékeld ki 1/(n+1)-ben és 1-1/(n+1)-ben. Ekörül lesz a két legextrémebb értéked. Most hirtelen nem merem kijelenteni, hogy ez a várható értéke, mediánja vagy neadjisten módusza a minimumnak/maximumnak, de egyik se jár túl messze az igazságtól.

Zárójelben, ez ugyanaz a technika, amivel, amivel egyenletes eloszlású valváltozókból tetszőleges eloszlású valváltozókat lehet csinálni. N darab egyenletes eloszlású valváltozó legextrémebb értékei 1/N és 1-1/N közelébe esnek, ezt nem nehéz belátni.

Wolfram Alphába be tudod írni, itt van n=1000-re:

[link]

Az alábbi grafikonon pedig azt láthatod, hogy 10 növekvő hatványaira ez mennyit ad: [link]

Mint láthatod, 10^100 elemnél a legextrémebb megfigyelés 20 szigmányi eltérésre várható. Ennyi elem talán elég is, elvégre atomból sincs több az Univerzumban :)