Tudnátok segíteni a matek háziba légyszíves? X^4-x^2=0

Ezt az egyenletet elég könnyű megoldani:

x^4 – x^2 = x^2*(x^2 – 1) = x*x*(x + 1)*(x – 1) = 0.

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényező 0, tehát a megoldások

x1 = 0,

x2 = 0,

x3 = –1,

x4 = 1,

Ezek összege 0.

Persze lehet Viete-formulákkal is, az x^3-os tag együtthatója 0, ezt elosztva a főegyütthatóval éppen a gyökök összegét kapjuk: 0/1 = 0.

A Viete-es megoldásban van még egy negatív előjel. Helyesen a gyökök az együtthatók hányadosát még –1-gel meg kell szorozni, azaz az összeg

–0/1 = 0.

Bocsánat!

Vagy másik megoldás; észrevehető, hogy a polinom páros, ami azt jelenti, hogy ha a-nál gyöke van, akkor -a-nál is gyöke lesz. Értelemszerűen ha olyan számokat adunk össze, amelyek egymás ellentettjei, akkor az eredmény is 0 lesz. Ha megengedünk komplex gyököket is, akkor ez a megoldás mindenképp jó. Ha viszont csak a valós számok halmazán vizsgálódunk, akkor lehet az is válasz, hogy nincs gyöke, ekkor viszont értelmetlen a gyökök összegéről beszélni, így keresnünk kell legalább 1 valós gyököt, amit azért ránézésre is meg tudunk mondani; x=0. Így már van értelme gyökök összegéről beszélni, és a gyökök összege 0 is lesz.

Persze az is igaz, hogy általános megoldást a Viéte-formulák használata ad, de bizonyos esetben (mint most is) azok ismerete nélkül is megoldható.

A Viète-formulák is figyelembe veszik a komplex és többszörös gyököket is. Szóval az (x – 1)^2 = 0-ra 2-t fognak adni összegként, hiába csak az x = 1 megoldása az egyenletnek; az x^2 + 1 = 0-ra pedig 0-t, hiába nincsen megoldás.

Szóval ha az ilyeneket el akarjuk kerülni, akkor mindenképpen meg kell oldanunk az egyenletet.