Adott sugarú körpályán egy időben egy helyről 2 test indul sebessége egyik 2m/s, másik 3m/s. Mikor és hol találkoznak? r=10

ω1 = V1/r, ω2 = V2/r.

α1 = ω1*t = V1*t/r,

α2 = ω2*t = V2*t/r.

Akkor találkoznak, ha α1 = α2 + 2*π*n, ahol n egész szám, mert ugye le is körözhetik egymást (tehát ha az egyik 2*π-vel nagyobb ívszöget futott be, akkor pont egy körrel ment többet, és ugyanott vannak).

Helyettesítve:

V1*t/r = V2*t/r + 2*π*n,

(V1 – V2)*t/r = 2*π*n,

tn = 2*π*r/(V1 – V2) * n

idő múlva találkoznak. Persze figyelni kell, hogy itt a pozitív n-ek fizikiailag azt jelentik, hogy hol LETTEK VOLNA, amikor a múltban találkoznak, ha eddig is egyenletes körmozgást végeztek volna. A következő találkozásukat n = –1 esetén kapjuk vissza, az azt követőt n = –2 esetén, stb.

Hol találkoznak: minden t időpillanathoz tartozik egy α szög, ami egyértelműen jellemzi, hogy hol vannak a testek. A találkozások idejében (mindegy, hogy V1-et vagy V2-t írunk, mert amikor találkoznak ugyanott vannak)

αn = V1*tn/r = 2*π*V1/(V1 – V2) * n,

ebből meg például már a Descartes-koordinátákat is egyszerűen ki lehet számolni, például ha a kör középpontja az (x0, y0) helyen van, akkor a találkozásuk helye

(x0 + r*cos(αn), y0 + r*sin(αn)).

Neked már csak annyi a dolgot, hogy rajzolsz, meg hogy beírod a számadatokat a képletekbe.

Kicsit átláthatóbban;

A kör kerülete 2*10*pi=20*pi méter (felteszem, hogy méter, ha már a sebesség m/s-ban van megadva). A feladat nem tér ki arra, hogy azonos vagy ellentétes irányba mozognak a testek, tehát a feladat kétféleképpen értelmezhető:

1) Ha ellentétes irányba haladnak, akkor nem nehéz rájönni, hogy akkor találkoznak, hogyha összesen 20*pi utat tesznek meg, mivel összesen megteszik a teljes kört. Tegyük fel, hogy x másodperc múlva találkoznak, ennyi idő alatt az első test 2*x=2x, a másik 3*x=3x méter utat tesz meg, összesen tehát 2x+3x=5x métert, ennek kell 20*pi-nek lennie:

5x = 20*pi, erre x=4*pi eredményt kapjuk, tehát 4*pi másodperc múlva találkoznak, ezalatt az idő alatt az első test 2*4*pi=8*pi utat tesz meg.

A kör kerülete 20*pi, az első test 8*pi utat tesz meg, tehát a találkozás helyét úgy tudod kijelölni a körön, hogy felosztod 20 egyenlő részre, majd a mozgás irányában számolva a 8. osztópontot kiválasztod (az indulás helyét nem számoljuk bele az osztópontokba).

Ha a találkozás után is mozognak a testek, akkor ugyanezt a metódust fogod végig használni; mindig 4*pi másodperc kell a következő találkozásig, tehát általánosságban azt mondhatjuk, hogy a k-adik találkozásig k*4pi másodperc telik el, ahol k pozitív egész szám vagy 0 (az előző válaszoló kifejtette, hogy a negatív k mit jelent, de a feladat azt is mondja, hogy onnan indulnak, tehát előtte nem mozogtak). A találkozás helyét úgy tudjuk megadni, hogy beszámozzuk az osztópontokat; az indulás helyét 0-val jelöljük, a következő 1, utána 2, és így tovább egészen 19-ig. Az első találkozásnál a 8-ra fognak érni, a másodiknál a 16-ra, a harmadiknál a 24-re érnének, de olyan nincs, viszont azt látjuk, hogy a 4-re lyukadnak ki. Ezután a 12-re, végül újra a 0-ra, majd minden kezdődik elölről, tehát 5 találkozási pont lesz. Hogy a k-adik találkozó hol lesz, azt onnan tudjuk, hogy a 8*k-nak (mivel 8-asával lépkedünk) mi a 20-szal vett maradéka, például az 5-ödik találkozási pont: 8*5=40, 40:20=2, marad a 0, tehát a 0-n lesznek, amit láttunk is.

2) Ha azonos irányba haladnak, akkor a gyorsabb ráver egy teljes kört a lassabbra, tehát a megtett útjaik különbsége pont 20*pi lesz;

3x-2x=20*pi, tehát x=20*pi, ennyi másodperc múlva találkoznak, a lassabb ennyi idő alatt 2*20*pi=40pi méter utat tesz meg, vagyis a teljes kört kétszer megteszi, a gyorsabb 3*20*pi=60pi métert, vagyis 3-szor megteszi. Ez azt jelenti, hogy a k-adik találkozás k*20pi másodperc múlva történik meg, és mindig ugyanott találkoznak; a kezdőponton.