Matek, nulla végülis micsoda? Kikötések?

1) Nevezőben nem lehet 0:

Mert nem értelmezhető a művelet; Azt jelentené, hogy valamit elosztasz nulla részre. Tegyük fel, hogy van 4 almád. Ezt hogyan osztod el nulla részre?

2) Gyök alatt nem lehet negatív szám:

Valaminek a gyöke az a szám, amit ha négyzetre emelsz, akkor megkapod azt a "valamit". Pl. 4-nek a gyöke 2, mert 2^2=4. Könnyen belátható, hogy bármilyen számot ha négyzetre emelsz, a végeredmény pozitív lesz, mivel a kitevő (^2) az pozitív szám. Ergo negatív számnak nincs gyöke. Ha megszakadsz sem tudsz olyan számot mondani, amit ha négyzetre emelsz negatív lesz.

3) logaritmus nagyobb mint nulla:

A logaritmus hasonló a gyökvonáshoz, csak nem azt a számot mondja meg, amit ha négyzetre emelsz megkapod a "valamit", hanem azt, hogy egy adott számot HÁNYADIK HATVÁNYRA kell emelni, hogy a "valamit" kapd végeredményül. Egy kis gondolkodás után belátható, hogy a hatvány csakis pozitív szám lehet (ha negatív hatványra emelsz bármilyen számot akkor a reciprokát kapod vissza).

Tényleg tanárfüggő, hogy a 0-t minek veszik, de a legelfogadottabb az, hogy páros (minden esetben az), és természetes szám.

Nevezőben nem lehet 0, mert 0-val nem osztunk (pl egy tábla csokit hogyan osztasz el 0 felé?)

Gyök alatt a valós, racionális és természetes számok esetén nem lehet negatív szám, mert nincs olyan szám, hogy ha négyzetre emeled, -4-et kapsz (ez a gyök -4 esete). Viszont vannak az úgynevezett komplex számok. Amikor a gyök-1 = i. Itt az i egy képzetes elem. Itt lehet gyököt vonni, a negatív számok gyökében lesz i. (kicsit lehet, hogy bonyolult, de tényleg használják)

????

Mi az, hogy tanárfüggő?

Legfeljebb akkor, ha nem ért a matekhoz a tanár.

A nulla DEFINÍCIÓ szerint természetes szám.

Szintúgy RACIONÁLIS szám is, hiszen felírható két egész szám hányadosaként: pl. 0/5

Továbbá páros szám, mert 2-vel osztva a maradék nulla.

Tehát nem mondhat mást semelyik tanár!

A 0-t azért veszik egyszer bele, egyszer nem, mivel matematikuskörökben nincs egyetértés, hogy bele lehet/kell-e sorolni vagy sem; Magyarországon az a hivatalos álláspont, hogy beletartozik, míg pl. Ukrajnában kizárják a természetes számok közül.

A nevezőben egyrészt azért nem lehet 0, amiért már leírták többször is, másrészt a törtek és az osztás között egyértelmű megfeleltetés létezik, tehát a 2/3 tört megfelel a 2:3 hányadosnak. Eszerint a 2/0 tört megegyezik a 2:0 hányadossal, amit nem tudunk értelmezni, mivel 0-val nem tudunk osztani.

Önmagában az, hogy gyökjel alatt nem állhat negatív szám, nem teljesen igaz; úgy igaz, hogy akkor nem állhat alatt negatív, hogyha a gyökszám páros, ezt már fentebb kifejtették, hogy miért. Viszont például köbgyök(-1) értelmes, és értéke -1, mivel (-1)*(-1)*(-1)=-1, ugyanígy köbgyök(-8)=-2, mivel (-2)*(-2)*(-2)=-8.

A logaritmust úgy a legkönnyebb megérteni, hogyha a definícióból indulunk ki; az a^x=b egyenlet megoldása x=log(a)[b]. Vegyük például a 2^x=-4 egyenletet, ennek definíció szerinti megoldása x=log(2)[-4] lenne, azonban a 2^x függvény sehol nem veszi fel a -4-et, mivel minden x-re pozitív értéket vesz fel. Emiatt nem lehet a logaritmuson belül negatív. A logaritmusra másik kikötés is van; a logaritmus alapja szintén pozitív, de nem lehet 1. Habár a fenti definícó szerint adott esetben működne negatív alapra is, azonban hamar kiderül, hogy ugyanaz a szám egyszer megoldása lenne, egyszer nem; például a (-2)^x=-8 eredménye log(-2)[-8] lenne, viszont tudjuk, hogy (-2)^3=-8, tehát eszerint log(-2)[-8] értéke 3. Azonban a 3 felírható 6/2 alakban, ekkor a (-2)^(6/2) számot kapjuk, ez pedig megegyezik gyök((-2)^6)-nal, aminek értéke pedig +8. Látható, hogy egyszer megoldás a 3, egyszer nem, tehát nem lehet vele egyértelműen számolni. 1 azért nem lehet az alap, mivel ha az egyenlet 1^x=5, akkor ennek azért nincs megoldása, mivel az 1 minden hatványa 1, tehát 1=5-öt kapunk, ami értelemszerűen nem igaz, ha pedig 1^x=1 lenne, akkor 1=1 minden x-re igaz, tehát nincs egyértelmű megoldása, így a log(1)[1]-nek sem lenne egyértelmű értéke.

Mindenképpen páros (hiszen osztható 2-vel), és racionális is, hiszen előáll egész számok hányadosaként.

(((Hogy természetes-e, arról az én tanáraim mindig azt mondták, hogy szerzőtől függ, hogy a tankönyvek annak veszik-e, de ez csak zárójelben, mert biztos vannak olyanok, akiknek azt mondta a tanáruk, hogy természetes, meg olyanok is, akiknek azt, hogy nem, és ha nem zárójelbe írom, akkor lepontoznak.)))

A természetes számokkal szemben ismert az az igény, hogy GYŰRŰT alkossanak (algebrai értelemben ugye).

Ebben a struktúrában kell két művelet (ez esetben a szorzás és összeadás), amire nézve zárt struktúra.

A gyűrű definíciójában többek között az is van, hogy mindkét műveletnek kell, hogy legyen egységeleme. A szorzásnak ez esetben az 1, az összeadás egységelemét nullelemnek nevezzük.

Mármost ha a nullát nem tekintjük természetes számnak, akkor érdekelne, hogy mi lenne az additív egységelem?

> „A természetes számokkal szemben ismert az az igény,…”

Hát… Sajnos másoknak más igényeik vannak. Például az, hogy a természetes számok legyenek természetesek. Hányszor hallasz valakit úgy számolni, hogy NULLA, egy, kettő,…

Persze ez filozófiai kérdés, én csak arra a TÉNYRE szerettem volna rámutatni, hogy bizonyos szerzők természetes számnak tekintik a 0-t, mások meg nem.

Amúgy én is jobban szeretem a természetes számok közé érteni a 0-t (többek között pont azért, mert akkor lehet 1 szóval hivatkozni a gyűrűre, nem kell azt végigmondani, hogy „nem negatív egészek” vagy hogy a „pozitív egészek és a 0”).

[link]

(((Harmadrészt annak a válasznak az lett volna a fő célja, hogy válaszoljon arra a kérdésre, hogy racionális, illetve páros-e, mert a többiek elsiklottak efölött. Remélem, a zárójelen kívüli részében egyetértünk annak a válasznak, még ha egyáltalán nem is hasznos.)))