Mi ennek a függvénynek a képlete?

Ne haragudj, de most kezdjünk el találgatni? Legalább azt tudni kellene, hogy hol van a függvény maximuma (x) és mennyi az értéke (y), illetve hogy hol van az iflexiós pontja (ami a képen kb. az [A;B] tartomány közepénél látható).

Így hirtelenjében egyébként azt mondanám, hogy az általad felrajzolt függvény valamilyen |cos(x)| (abszolút érték), de ugyanakkor az is biztos, hogy ez nem cos(), mert egyrészt a felrajzolt függvényed nincs értelmezve negatív x-ekre, másrészt a tisztán cos()-nak nem lehet ilyen menete [A;B] között.

További kérdés, hogy a B pont után megszakad a függvény? Mert a képen nincs továbbrajzolva.

[0;A] intervallum:

Röviden a gondolatmenetem a következő volt: Fogtam egy kört, amit felnagyítottam A sugarúra és elhelyeztem a középpontját olyan helyre, hogy a kívánt görbét lefedjem vele. A gyökvonással levágtam a kör alsó felét, az intervallum meghatározásával pedig a jobb felét, így megkaptam a kívánt görbét.

Kifejtve:

Az R sugarú a;b középpontú kör egyenlete a következő: (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2. Esetünkben a kör középpontja az A;0 pont, illetve a sugara A nagyságú, így a kör egyenlete (x-A)^2 + (y-0)^2 = A^2. Ha ez y^2-re rendezzük a y^2= A^2 - (x-A)^2 egyenletet kapjuk. Ha mindkét oldalból gyököt vonunk, akkor az y= gyök(A^2 - (x-A)^2) függvényt kapjuk. Ezzel azt érjük el, hogy levágjuk a körnek az alsó felét (mivel negatív számokból nem lehet gyököt vonni, így ezek a pontok kiesnek), azaz minden x értékhez csak egy y érték fog tartozni. A kívánt negyed kört pedig ebből azzal érjük el, hogy azt mondom, a függvény csak a [0;A] tartományon értelmezett.

[A;B] intervallum:

Hasonlóan jártam el a másik görbével is. A lefedni kívánt görbe alakja egy koszinusz, ami A-tól megy 0-ra oly módon, hogy ez a két pont a koszinusz görbe két szélsőértéke. Egy szimpla koszinusz értéke -1 és +1 között változik. Ennek középértéke 0, amplitúdója 1. A mi koszinuszunk középértéke A/2 és amplitúdója is A/2. Hogy az amplitúdója A/2 legyen, meg kell szorozni a koszinuszt A/2-vel. A középértéket azzal változtathatom, ha hozzáadok egy számot, ez esetünkben A/2. Így a kapott függvény a következő: f(x)= A/2 * cos(x) + A/2. Ez a függvény az X=0 értéknél veszi fel az A értéket, így el kell tolnunk A-val jobbra, hogy illeszkedjen a görbére. Ezt úgy tudjuk megtenni, hogy x-ből kivonunk A-t, így megkapjuk a f(x)= A/2*cos(x-A) + A/2 függvényt.

Még nem végeztünk, hiszen azt akarjuk, hogy a függvényünk az előre megadott B pontig tartson. Ezt én is kihagytam az előző gondolatmenetemben, amiért bocsánatot kérek, de máris pótlom:

Egy koszinusz függvény hossza annak frekvenciájától (változási gyorsaságától) függ, amit a koszinusz belsejében lévő x nagysága határoz meg. Ha a zárójel belsejében x helyett 5x-et írok, a koszinusz ötször gyorsabban éri el a 0 értéket. Ha azt akarjuk, hogy a koszinuszunk B-nél vegyen fel 0 értéket, ahhoz a hosszát úgy kell változtatni, hogy A és B között pont egy fél periódust tegyen meg, vagyis B-A = 180 fok, ami radiánban = pi(3,1415...). Így egy teljes periódus hossza (360 fok) 2*(B-A) hosszú. A szimpla cos(x) függvény hossza 2*pi. Hogy az utóbbiból megkapjuk a kívánt hosszúságot x-et meg kell szorozni 2*(B-A)/2pi-vel, egyszerűsítve (B-A)/pi-vel. A kapott függvény így f(x)= A/2*cos( ((B-A)/pi )*x -A) + A/2 lesz.

Ha valamit elszámoltam vagy nem eléggé érthetően írtam le, írjatok és korrigálom. Köszönöm, hogy végigolvastátok :)

A végéről lehagytam egy zárójelet. Helyesen:

f(x) = A/2*cos( ((B-A)/pi )*(x-A) ) + A/2

A frekvencia növelésekor x=0 körül húztuk össze, így A-nál a koszinusz nem 1 értéket vett fel. A zárójel beiktatásával A körül húztuk össze, így a koszinuszunk maximuma A-ban maradt.

Elnézést az utólagos javításért!