(3^x) + (2^x) =13?

A 13-at a hatványaira bontod:

13 = 2^3+5^1

Tehát a megoldandó egyenlet a következő:

3^x+2^x = 2^3+5^1

Ezután veszed csak a kitevőket és megoldod:

x+x = 3+1

2x = 4

x = 2

----

De ugyanez jönne ki, ha a 13-at úgy bontottam volna fel, hogy 3^2 + 2^2:

3^x+2^x = 3^2+2^2

x+x = 2+2

2x = 4

x = 2

:)

szerintem az 1-es válaszoló gondolatmenete nem helyes, csak véletlenül jött ki jó megoldás.

Pl. ha úgy bontanád fel hogy: 13=1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1, akkor

(3^x) + (2^x) =1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1+1^1, azaz

2x = 13.

Én úgy oldanám meg hogy természetesen látszik hogy 2 a megoldás, de bizonyítanunk kell, hogy nincs több megoldás, ezt pedig az exponenciális függvény szigorú monotonitása segítségével belátható.

Bár ez nem alkalmazható egy random ilyen egyenletre, pl:56^x + 32^x=321421, ezt sajnos nem tudom hogyan kéne megoldani.

Az alapgondolatmenetem az volt, hogy az a^x=a^b típusú egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy x=b.

Habár amit első körben felírtam, az lehet hogy tényleg csak véletlenül jött ki, mert elvileg az alapnak ugyanannak kell lennie, tehát az 5^1 az nem biztos, hogy jó. Szerintem a második példám már jó.

Kedves kérdező!

Nem tudom, hogy ez segítség-e, de leírom. Mivel a feladatnak nincsen analitikus megoldása, én a következőképp szoktam eljárni hasonló problémák esetén:

a^x+b^x=c típusú feladatról van szó. (a>b)

Kicsit átalakítva:

a^x=c-b^x

x=log_a(c-b^x)

Innentől pedig egy gyors iteráció.

A "b^x" tagba beírok x=0 értéket, így kapok a bal oldalon egy x értéket.

Ezt írom be a "b^x" tagba x helyére, és kapok a bal oldalon egy újabb x értéket, és így tovább.

Tíz-tizenpár iteráció után beáll a keresett értékre. Excellben pillanat alatt elvégezhető.

Szép napot!

Ezeknek a feladatoknak az a teljes értékű megoldása, hogy

1. Megsejted hol egyenlő a két oldal

x=2-nél egyenlő.

2. Bizonyítod, hogy nincs más megoldás.

A 2. lépés az ilyen exponenciális egyenleteknél könnyű.

3^x és 2^x is szig. mon. nő.

Tehát ha x<2

3^x<9, 2^x<4

3^x+2^x<13

Ha x>2, akkor

3^x+2^x>13

Ez bizonyítja, hogy csak a 2 a jó megoldás.

Mi van, ha nem tudod megsejteni a jó megoldást?

Nos akkor próbálgatni kell az x értékeket.

Ezt nem fogod tudni olyan alakra rendezni, hogy x=...