3 trükkös fizika feladatban segítene valaki?

F1:

Ha az elsőre az jött ki, hogy 3v/2 sebességgel csökken a háromszög pillanatnyi oldalhosszúsága (vagyis 2a/(3v) idő múlva találkoznak spirálozás után), akkor jól csináltad.

- - - - -

F2:

A kötélnek mindig h hosszúságú része van a levegőben, ennek a tömege mindig k·h (ahol k a vastagságtól és sűrűségtől függő konstans), súlya pedig k·h·g. Ha a kötélerő F, akkor az F erő gyorsítja a kötél csőben lévő részét, és khg-F gyorsítja a h hosszú szakaszt. Ez a két gyorsulás azonos kell legyen, mert nem szakad el és nem nyúlik meg a kötél. Ebből egy differenciálegyenlet jön majd ki, nem jut eszembe semmi trükk, amivel el lehetne kerülni...

... Valamit elrontottam, majd látod a végén. Most éjszaka nem keresgélem tovább a hibát, elküldöm ezt jobb híján.

Először nézzük a h hosszú kötéldarab mozgásegyenletét:

khg-F = kh·a

F = kh(g-a)

A csőben lévő kötéldarab elvileg F=m·a szerinti gyorsulással megy, de mivel annak a darabnak hossza egyre csökken, a tömege is csökken, tehát m nem állandó, nem F=m·a alakú a Newton 2, hanem F=dI/dt. Nézzük ezt részletesen:

t időpontban a csőben lévő kötéldarab hossza s(t).

Tömege m(t)=k·s(t)

Sebessége v(t) = ds(t)/dt

Gyorsulása a(t) = d²s(t)/dt²

Impulzusa m(t)·v(t)

Newton 2:

F = d(m·v)/dt = m(t)·dv/dt + v(t)·dm/dt

F = (k·s(t))·d²s/dt² + ds/dt·(k·ds/dt)

F/k = s·d²s/dt² + (ds/dt)²

Tudjuk, hogy F/k = h·(g-a):

h·(g - d²s/dt²) = s·d²s/dt² + (ds/dt)²

h·g = (s+h)·d²s/dt² + (ds/dt)²

Ezt a differenciálegyenletet kellene megoldani (remélem, eddig nem rontottam el...)

Fejezzük ki a sebességet t helyett az s függvényeként, úgy egyszerűbb lesz:

w(s)=ds/dt

d²s/dt² = dw(s)/dt = ds/dt· dw(s)/ds = w(s)· dw(s)/ds

vagy írhatjuk így is egyszerűbben:

d²s/dt² = w · w'

hg = (s+h)·w·w' + w²

hg-w² = (s+h)·w·w'

1/(s+h) = w·w'/(hg - w²)

Integráljuk mindkét oldalt s szerint. A bal oldal sima eset, ln(s+h) plusz konstans. A jobb oldal bonyolultnak néz ki, de valójában baromi egyszerű: deriváld az ln(hg - w²(s)) függvényt s szerint, és látod.

ln(s+h) + C = -1/2 · ln(hg - w²)

A kezdőfeltétel (az, hogy s+h=L esetén a sebesség 0) úgy tud csak kijönni, ha C egy nagy negatív szám és a bal oldal negatív lesz. Szorozzuk be -1-gyel:

C₁ - ln(s+h) = 1/2 · ln(hg - w²)

(Ez a C₁ = -C, nagy pozitív szám)

ln(C₂/(s+h)) = ln(√(hg - w²) )

C₂/(s+h) = √(hg - w²)

C₃/(s+h)² = hg - w²

w(s) = √(hg - C₃/(s+h)²)

Tudjuk, hogy kezdetben w(L-h)=0, ahol L-h a kötél hossza a csőben (tehát az összes hossz s+h = L). Ehhez az kell, hogy C₃ = L²·hg legyen.

w(s) = √(hg(1 - L²/(s+h)²))

Amikor kifut a kötél a csőből, akkor s=0, a sebessége pedig:

w(0) = √(hg(1 - L²/h²))

És itt van a gond, a gyök alatt negatív szám van. Valamit nagyon elrontottam...

dq-nak igaza van, F2-t e helyett a bonyolult diffegyenlet helyett energiával teljesen egyszerű megoldani.

Kezdetben helyzeti energia: (k·(L-h))·g·h + (k·h)·g·h/2

Végen mozgási energia: 1/2·(k·h)·v²