Teleszkopikus összeg, valaki elmagyarazna?

Pl. sorok összegénél lehet ilyennel találkozni.

Lehet végtelen sor is.

pl. számítsd ki, hogy mennyi szumma(1/(k(k+1)). A tagokat összegezhetem k=1-től n-ig, vagy végtelenig is akár.

Legyen Sn=szumma(1/(k(k+1)).

Ekkor Sn=1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n(n+1)).

Hát ezt az összeadást elég nehéz elvégezni, főleg ha n tart végtelenbe, egyébként meg sokáig tartana.

Ehelyett érdemes a törtet átírni:

1/(k(k+1))=1/k-1/(k+1)

(Résztörtekre bontással meg lehet csinálni az átalakítást, feltételezve, hogy 1/(k(k+1))=A/k+B/(k+1), és akkor a k-nak értékeket adva kiszámítható, hogy A=1 és B=-1.)

Ekkor Sn=szumma(1/k-1/(k+1))

és elkezdünk k=1-től n-ig helyettesíteni:

Sn=1-1/2 + 1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n + 1/n-1/(n+1) (ez az összeg a teleszkópikus összeg, mert van benne 1/2 és -1/2, 1/3 és -1/3,..., -1/n és 1/n, melyek összege így párosítva 0, így Sn=1-1/(n+1). Ezt már sokkal könnyebb kiszámolni, ha pl. n=10000, mint az eredetit.

És akkor is ki tudjuk számolni az összeget, ha végtelen sor:

k=1-től végtelenig.

Mert

S=lim(Sn), ha n tart végtelenbe.

Sn-t már megkaptuk az előbb.

S=lim(Sn)=lim(1-1/(n+1))=1-0=1, mert 1/(n+1) 0-hoz közelít, ha n tart végtelenbe.

Gratulálok annak, aki töröltette a válaszomat. Pedig az 1/k(k+1) megoldását részletesen levezettem.

De manapság úgy látszik, már ez sem elég, és az kap zöldkezet, aki lemásolja a megoldásom...

Én is gratulálok annak, aki tud töröltetni.

Hogy lehet más válaszát törölni? Én nem szeretném, ha bárki is bele tudna törölni, vagy szerkeszteni a válaszomba.

Szívesen a részletes leírást.

Én sem láttam a töröltet és nem tudom, hogy lehet innen bárkinek a bejegyzését töröltetni, ha az megfelel a web oldal szabályainak.