Exponenciális határérték kiszámolása?

Az elsőnek nem létezik a határértéke az oszcilláció miatt.

A másodikhoz meg nézd át ezt:

[link]

A másodikhoz az #1 által linkelt pdf 4-es állításának ötlete elég (mondjuk az a rész az elég sok helyen úgy hülyeség ahogy van):

n√n -et nézzük, ha ez tart valahova, akkor (2n)√(2n) is ugyanoda tart. Legyen n√n = 1 + b_n alakú (b_n >= 0), elég megmutatni, hogy b_n --> 0. A Bernoulli-egyenlőtlenség szerint

√n = (1+b_n)^n >= 1+n*b_n ha (n>=1)

Így b_n <= (√n-1)/n, így b_n --> 0.

#4: Nézd meg újra, nem jó, amit írtál. Ugyanis ha ⁿ√n = 1 + bn, akkor √n nem egyenlő ennek az n-edik hatványával! Ezzel szemben ezzel az (1+bn)ⁿ hatvánnyal (ⁿ√n)ⁿ = n egyenlő, de arra alkalmazva a Bernoulli egyenlőtlenséget nem az jön ki, hogy 0-hoz tart bn, hanem az, hogy 1-hez tartana. (A Bernoulli egyenlőtlenség az, hogy (1+x)ⁿ ≥ 1+nx.)

Nem lehet megspórolni a bizonyítás másik felét, teljesen kell az, ami az első által linkelt 4. állításban van, ha ⁿ√n-re vezeted vissza a feladatot. Tényleg van viszont baj ott a pdf-ben: ahol √n van írva, ott ⁿ√n kellene legyen. Így lenne helyes:

Legyen ²ⁿ√n = 1 + bn, tudjuk, hogy bn > 0

Ekkor    ⁿ√n = (1 + bn)ⁿ ≥ 1 + n·bn (a Bernoulli egyenlőtlenség miatt)

Amiből (ⁿ√n - 1)/n ≥ bn

ami 0-hoz tart,

ezért ²ⁿ√n = 1 + bn 1-hez tart.

Most te, kérdező, nem csak úgy tudod folytatni, ahogy a linken van, hanem egyszerűbben úgy is, hogy

²ⁿ√(2n) = ²ⁿ√2 · ²ⁿ√n, ahol mindkét tényező 1-hez tart, kész.

Persze ha azt is bizonyítani kell, hogy ²ⁿ√2 → 1, akkor kell ahhoz is mondjuk az, hogy

1 < ²ⁿ√2 < ²ⁿ√n

és mivel ²ⁿ√n → 1, a rendőrelv szerint ²ⁿ√2 → 1

#1

Amit írtál, hogy az oszcilláció miatt nincs határértéke, az általad linkelt pdf 2. állítása is ellentmond.

Ott lim aⁿ=0, ha |a|<1, vagyis 0 akkor is, ha ha -1<a<0, márpedig ebben az esetben aⁿ oszcillál.