Ezt hogyan lehet megoldani?

Mivel a 450 osztható 30-cal, ezért triviális megoldás a 30 és a 450. Már csak az a kérdés, hogy ezen kívül van-e még másik megoldás.

Ha nagyon nincs ötletünk, akkor írjuk fel az összes pozitív 30-cal osztható számot egészen 450-ig:

30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450

Ebből a felsorolásból vegyük ki azokat a számokat, amelyekkel nem osztható a 450 (elvégre ha nem osztható vele, akkor annak nem is lehet többszöröse a 450), így marad:

30, 90, 150, 450

Azt láthattuk, hogy a 30 a 450-nel alkot párt. A 30 azért nem lehet másikkal párban, mert mindegyik számnak osztója, így a legkisebb közös többszörös a másik szám lenne (például 30 és 150 esetén a 150), a 450 esetén pedig a másik szám lenne a legnagyobb közös osztó (tehát 90 és 450 esetén a 90). Marad tehát a 90 és a 150, ezekről pedig nem nehéz belátni, hogy megfelelnek a feladatnak.

___

Általánosan úgy oldjuk meg a feladatot, hogy felírjuk a két számot prímtényezős alakban:

30 = 2 * 3 * 5

450 = 2 * 3^2 * 5^2

Mivel a keresett számok 30-cal oszthatóak, ezért a számok prímtényezős felbontásában szerepelnie kell a 2*3*5-nek, de egyszerre a két számban nem szerepelhet sem a 2, sem a 3, sem az 5 nagyobb hatványon. Mivel a 2*3*5-ön kívül csak egy darab 3-asunk és egy darab 5-ösünk van, és ezeket kell hozzácsapnunk a 2*3*5 szorzathoz, ezért négyféle megoldást kaphatunk;

-az elsőhöz nem rakunk, a másodikhoz mindkettőt, így kapjuk a 2*3*5=30 és 2*3*5*3*5=450 megoldást

-ha az egyik kapja a 3-ast, a másik az 5-öst, akkor 2*3*5*3=90 és 2*3*5*5=150 számokat kapjuk

-a másik két szétosztással ugyanezeket az eredményeket kapjuk, csak más sorrendben (tehát 450 és 30, valamint 150 és 90).

Más megoldás nincs, mivel az összes lehetőséget kiveséztük.