Weboldalunk cookie-kat használhat, hogy megjegyezze a belépési adatokat, egyedi beállításokat, továbbá statisztikai célokra és hogy a személyes érdeklődéshez igazítsa hirdetéseit. További információ
Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Mi a bizonyítása annak, hogy...

Székely Péter 3 kérdése:

Mi a bizonyítása annak, hogy két szám legkisebb közös többszöröse szorozva a két szám legnagyobb közös osztójával a két szám szorzatát adja?

Figyelt kérdés

2018. nov. 6. 08:55
 1/2 anonim ***** válasza:

Legyen a két szám A és B, ekkor írjuk fel a két szám "majdnem" prímtényezős felbontását:


A = (p₁^α₁)*(p₂^α₂)*...

B = (p₁^β₁)*(p₂^β₂)*..., ahol p₁;p₂;... prímszámok, α₁;α₂;... és β₁;β₂;... nemnegatív egész számok


Ez attól lesz "majdnem" prímtényezős felbontás, hogy a szorzat a prímtényezők között tartalmazza még az 1-et is, vagyis valamelyik prímszám 0. hatványát, ezért is írtam úgy, hogy az α-k és β-k értéke nemnegatív egész.


A tanultak szerint a legnagyobb közös osztóhoz az azonos prímhatványok közül a kisebb kitevőjűeket szorozzuk össze, vagyis


(A;B) = p₁^min(α₁;β₁) * p₂^min(α₂;β₂) * ...


A legkisebb közös többszöröshöz pedig a nagyobb kitevőjű hatványok szorzatát vesszük:


[A;B] = p₁^max(α₁;β₁) * p₂^max(α₂;β₂) * ...


Nyilván ha valahol a kitevők egyenlőek, akkor min()=max().


Látható, hogy mindegyik prímhatvány vagy a legnagyobb közös osztóban vagy a legkisebb közös többszörösben részt vesz, így ha a kettőt összeszorozzuk, akkor A és B prímtényezői is megjelennek a szorzatban, és mivel a szorzótényezők felcserélhetőek, a megfelelő elrendezés során megkapjuk az A-t és a B-t részszorzatként a szorzatból, így


(A;B) * [A;B] = A*B.

2018. nov. 6. 09:51
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/2 A kérdező kommentje:
Nagyon szépen köszönöm, nagyon érthetően megírtad. Még egyszer ezer köszönet.
2018. nov. 6. 11:04

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2021, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info@gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!