Mi a bizonyítása annak, hogy két szám legkisebb közös többszöröse szorozva a két szám legnagyobb közös osztójával a két szám szorzatát adja?

Legyen a két szám A és B, ekkor írjuk fel a két szám "majdnem" prímtényezős felbontását:

A = (p₁^α₁)*(p₂^α₂)*...

B = (p₁^β₁)*(p₂^β₂)*..., ahol p₁;p₂;... prímszámok, α₁;α₂;... és β₁;β₂;... nemnegatív egész számok

Ez attól lesz "majdnem" prímtényezős felbontás, hogy a szorzat a prímtényezők között tartalmazza még az 1-et is, vagyis valamelyik prímszám 0. hatványát, ezért is írtam úgy, hogy az α-k és β-k értéke nemnegatív egész.

A tanultak szerint a legnagyobb közös osztóhoz az azonos prímhatványok közül a kisebb kitevőjűeket szorozzuk össze, vagyis

(A;B) = p₁^min(α₁;β₁) * p₂^min(α₂;β₂) * ...

A legkisebb közös többszöröshöz pedig a nagyobb kitevőjű hatványok szorzatát vesszük:

[A;B] = p₁^max(α₁;β₁) * p₂^max(α₂;β₂) * ...

Nyilván ha valahol a kitevők egyenlőek, akkor min()=max().

Látható, hogy mindegyik prímhatvány vagy a legnagyobb közös osztóban vagy a legkisebb közös többszörösben részt vesz, így ha a kettőt összeszorozzuk, akkor A és B prímtényezői is megjelennek a szorzatban, és mivel a szorzótényezők felcserélhetőek, a megfelelő elrendezés során megkapjuk az A-t és a B-t részszorzatként a szorzatból, így

(A;B) * [A;B] = A*B.