Sqrt1=-1? Ez igaz?

Definíció szerint sqrt(1)=1, így 1=-1, ami nem igaz.

Amit kaptál, az hamis gyök, ami azt jelenti, hogy az egyenletmegoldás során született olyan egyenlet, amelynek megoldása a 3, de az eredetinek nem. Ez azért van, mert a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás a valós számok halmazán, röviden: ha az igaz, hogy a^2=b^2, akkor az nem feltétlenül igaz, hogy a=b.

Ha megnézed, akkor a második egyenletnek megoldása lesz, és azt kapod, hogy 1=1. Az eredetire azt kapod, hogy 1=-1. Az első egyenletből úgy kaptad a másodikat, hogy négyzetre emeltél, ekkor valóban 1=1 adódik, ami igaz, de az 1=-1 pedig nem, így született a hamis gyök.

Az ilyenfajta egyenleteknél nemcsak értelmezési tartomány szerint, hanem értékkészlet alapján is érdemes kikötést írni; a bal oldal értéke biztosan nemnegatív, így a jobb oldalnak is tudnia kell ezt, így 2-x>=0, vagyis 2>x, ebből már láthatjuk, hogy az x=3 nem lehet megoldása az egyenletnek.

Értem, hogy hogyan gondolod, de hibás a gondolatmenet.

Ha a gyök definíciójából indulunk ki, akkor a kérdés sqrt(1)=-1 esetén csakis az lehet, hogy "melyik az a szám, amit ha négyzetre emelek, akkor -1-et kapok?". Vagy még kérdezhetjük azt is, hogy "melyik az a szám, amiből ha gyököt vonok, akkor -1-et kapok?".

Ezek tudatában:

"Ha a -1-et négyzetre emeljük, az 1."

Ez valóban így van, de nem ez volt az egyenlet. Hová tűnt a gyökvonás az egyik oldalról? Ha lefordítom matematikai egyenletre, amit szóban megfogalmaztál, akkor az ez az egyenlet lenne: x^2=1. Erre igaz lenne, hogy a -1 (is) megoldása, de ugye mi most az sqrt(1)=-1 -et szeretnénk megoldani.

A négyzetgyök definíciójában van benne, hogy az eredmény nem lehet negatív. Nézd meg, mit ad ki a számológép, ha beírod, hogy √1. Nem azt, hogy -1.

A négyzetgyökvonás a négyzetreemelés ellentéte, tehát egy szám gyöke az a szám, amit ha ha négyzetre emelünk, megkapjuk azt a számot, amiből gyököt vontunk.

Pl √9=3, mert 3²=9. De miért nem -3? Az is jó lenne: √9=-3, mert (-3)²=9. Azért nem jó, mert a definícióba beleírták, hogy az eredmény nem negatív.