Lineáris algebra feladat, háromszög szögei?

Kiszámolod az egyes oldalak hosszát.

Ezután alkalmazható a koszinusztétel:c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(gamma), a gamma c-vel szemközti szög.

cos(gamma)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)

skaláris szorzattal megoldható.

skaláris szorzásról egyrészt tudjuk, hogy (itt a betűk vektorok, X a közrezárt szög)

a*b = |a| * |b| * cosX

másrészt ha koordinátákkal nézzük, akkor

a(a1,a2,a3) ; b(b1,b2,b3) => ab=a1b1+a2b2+a3b3

ugyebár az A csúcsnál lévő szög a kérdés. Az egyszerűség kedvéért toljuk el a háromszöget úgy, hogy az A csúcs az origóba essen, így a szög nem változik.

A'(0,0,0)

B'(-1,3,0)

C'(-1,0,2)

ekkor a B' és a C' csúcsok helyvektoraira használhatjuk a skaláris szorzatot. (legyen ez a két vektor b' és c'

koordinátásan ekkor: b' * c'=1+0+0 = 1

definició szerint: b' * c' = |b'|*|c'|*cosX

|b'|= gyök(1+3^2)=gyök10

|c'|= gyök(1+2^2)=gyök5

tehát mindent behelyettesítve:

1 = gyök10 * gyök5 * cosX

cosX = 1/gyök10*gyök5

X = 81,87°

---------------------------------------

koszinusz tétellel:

oldalak hossza, a csúcsok helyvektoraiból mint két vektor különbsége (ugyebár végpont minusz kezdőpont lenne, de hosszról beszélünk, így ez mindegy hogy melyikből melyiket vonjuk ki, mert négyzetre emelünk)

|AB| = gyök((-1)^2 + 3^2) = gyök(1+9) = gyök10

|BC| = gyök((-3)^2 + 2^2) = gyök(9+4) = gyök13

|AC| = gyök((-1)^2 + 2^2) = gyök(1+4) = gyök5

ugye nekünk az AB és AC oldal által bezárt szög kell.

koszinusztétel:

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2*|AB|*|AC|*cosALFA

behelyettesítve:

13 = 10 + 5 - 2*gyök10*gyök5*cosALFA -->> -15

-2 = -2*gyök10*gyök5*cosALFA -->> :(-2)

1 = gyök10*gyök5*cosALFA

cosALFA = 1/gyök10*gyök5

ALFA=81,87°

remélem segített :) ennél többet nem tudok segíteni :D

itt van egy kis szemléltetés is hozzá:

[link]

Nem muszáj eltolni a koordinátarendszert. Triviális egyébként is, hogy az A csúcsnál lévő szöget az AB és AC vektor zárja közbe:

AC=(-1,0,2); AB=(-1,3,0).

A skaláris szorzatuk: AC*AB=1.

Az abszolút értékük:

|AC|=gyök(1+4)=gyök(5) és |AB|=gyök(1+9)=gyök(10).

A cos egy lehetséges definíciója szerint:

cos(alfa)=AB*AC/(|AC|*|AB|)=1/(gyök(5)*gyök(10)).