Egy egyenes csonkakúpba gömb írható. A csonkakúp és a gömb felszínének a különbsége 122pi. Térfogataik különbsége 224pi. Számítsa ki a csonkakúp és a gömb felszínét és térfogatát! Mennyi lesz a tefogat es felszin?

gömb:

A=381,3

V=700

csonkakúp:

A=764,5

V=1403,6

Kedves tatyesz! És hogyan jutottál ezekre az eredményekre?

Ha egy kicsit többet írnál erről, akkor megköszönnénk.

Sz. Gy.

A csonkakúp és a beírt gömb síkmetszete egy trapéz és a beírt kör. A trapéz szimmetrikus és érintőnégyszög is egyben, alapjai R és r, az érintőnégyszög miatt a szára (és egyben a csonkakúp alkotója)

a=R+r.

A gömb sugara legyen ρ (ró). A trapéz magassága

m=2ρ.

A magasság a szárral és a hosszabbik alap egy részével derékszögű háromszöget alkot, melynek befogói: ρ és R-r, átfogója R+r. Pitagorasz-tételt felírva kapjuk:

ρ²=Rr

A felszínek:

Acsk = π(R²+r²+(R+r)a) = π(R²+r²+(R+r)²)

Ag = 4πρ² = 4πRr

Acsk-Ag = 122π = π(2R²+2r²+2Rr)-4πRr

Egyszerűsítés után:

61 = R²+r²-Rr (1)

A térfogatok:

Vcsk = πm(R²+r²+Rr)/3 = π·2ρ·(R²+r²+Rr)/3

Vg= = 4πρ³/3 = 4π·ρ·ρ²/3 = 4π·ρ·Rr/3

Vcsk-Vg = 224π = π·2ρ·(R²+r²+Rr)/3 - 4πρRr/3

Egyszerűsítés után:

336 = ρ·(R²+r²-Rr)

A zárójelben kapott mennyiség az (1) egyenlet jobb oldalával egyenlő, ezért:

336 = 61ρ

Ebből megkapjuk ρ-t, innen meg már könnyen megoldható R-re és r-re.