Hogy oldjam meg a következő egyenletet? 1+ 1/ (1+2) +1/ (1+2+3) +…+1/ (1+2+3+…+n) =2019/1010, ahol n természetes szám.

1/(k*(k + 1)) = 1/k – 1/(k + 1).

Ez azért igaz, mert ha közös nevezőre hozunk, akkor

(1*(k + 1) – 1*k)/(k*(k + 1)) = (k + 1 – k)/(k*(k + 1)) lesz a tört.

Az összegek helyére pedig a Gauss-módszer alapján szabad ezt írni: 1-től k-ig a számok összegének a kétszerese:

1 + 2 + 3 + … + k +

1 + 2 + 3 + … + k.

Az összeadás kommutatív, tehát csinálhatjuk fordított sorrendben a második sort:

1 + 2 + 3 + … + k +

k + k–1 + k–2 + … + 1.

Ha követed a plusz jelek vonalait lefelé, akkor a két vonal közé mindig 1 + k = k + 1, 2 + k – 1 = k + 1, 3 + k – 2 = k + 1, …, k + 1 esik. Ez éppen k*(k + 1), ami az összeg kétszerese, tehát az összeg

k*(k + 1)/2.

A feladatban szereplő törtek összege így

2/(1*2) + 2/(2*3) + 2/(3*4) + … + 2/(n*(n + 1)) =

= 2*(1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + … + 1/n – 1/(n + 1)) =

= 2*(1/1 – 1/(n + 1)) = 2*n/(n + 1).

Ennek kell 2019/1010-nek lennie a feladat szerint.

Ezt érted? Ez alapján be tudod fejezni?

> „2/(1*2) + 2/(2*3) + 2/(3*4) + … + 2/(n*(n + 1))”

Ez úgy lett, hogy beírtam minden az egyenlet bal oldalán minden törtben elvégeztem a nevezőben az összeadást a Gauss-módszer szerint. Például 1/(1+2+3) = 1 / (3*4/2) = 2/(3*4). Ezután két lépést csináltam egyszerre, először minden törtből kiemeltem 2-t:

2*(1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + … + 1/(n*(n + 1))),

majd minden törtet átírtam az 1/(k*(k + 1)) = 1/k – 1/(k + 1) azonosság alapján. Így lett ez

> „2*(1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + … + 1/n – 1/(n + 1))”

Itt pedig a –1/2 + 1/2, –1/3 + 1/3,… mind-mind 0-t ad, tehát a bal oldala az egyenletednek

2*(1/1 + 0 + 0 + 0 + … + 0 + 1/(n + 1)),

ami nem más, mint

> „2*(1/1 – 1/(n + 1))”.

Közös nevezőre hozva (azaz az 1/1-et bővítve n + 1-gyel)

2*((n + 1)/(n + 1) – 1/(n + 1)) = 2*(n + 1 – 1)/(n + 1) = 2*n/(n + 1).

A feladat szerint ez ugyanannyi, mint 2019/1010:

2*n/(n + 1) = 2019/1010,

2-vel osztva

n/(n + 1) = 2019/2020 = 2019/(2019 + 1),

amiből már közvetlenül is leolvashatod, hogy mennyi az n, de azt is lehet, hogy most szorzunk 2020-szal:

2020*n/(n + 1) = 2019,

majd (n + 1)-gyel:

2020*n = 2019*(n + 1),

2020*n = 2019*n + 2019.

2019*n-et kivonva

n = 2019.

Ez a megoldás. Pedig nem csúnya feladat, érdemes megérteni. Jó volna, ha még próbálkoznál vele. De ennél többet sajnos nem tudok segíteni.