Tudnátok segíteni?

A jelölések a feladatokban

a, b - a háromszög befogói

c - a háromszög átfogója

p, q - a magasság által felosztott átfogó részei

p - a rövidebb

q - a hosszabbik befogó vetülete

α, ß - a háromszög hegyesszögei

Ezeken kivül mivel derékszögű háromszögről van szó - mindegyik feladatnál érvényes a Pitagorász-tétel

a² + b² = c²

1. feladat

b/a = 5/3

q - p = 4

c, m = ?

*********

Mivel a keresett adatok kiszámításához

c = p + q

m² = p*q

az átfogó szeleteire van szükség, ezekre kell alkalmas összefüggéseket találni. A különbségük ismert, egy továbbihoz a befogó-tételt lehet elővenni.

A két befogóra felírva

c*p = a²

c*q = b²

majd a másodikat elosztva az elsővel kapjuk

q/p = b²/a²

A jobb oldal ismert, így van két egyenletünk

q - p = 4

q/p = 25/9

amikből a p és q egyszerűen meghatározható.

Aztán a

c = p + q

és

m² = p*q

egyenlekbe behelyettesítve kész a feladat megoldása.

******************************************************************************

2. feladat

p/q = 1/3

a = c - 4

a, b, c, α = ?

**************

Itt az oldalakat keressük, ehhez kell alkalmas összefüggéseket összeszedni.

Az egyik a második egyenletből átrendezéssel

c = a + 4

Egy másodikhoz megint a befogó-tételt vesszük elő, amiből

p/q = a²/b² = 1/3

A jobb oldali egyenlőségből

a/b = 1/√3

Kis kitérő:

Ebből azonnal adódik a keresett szög:

tgα = a/b = 1/√3

ebből

α = 30°

=====

Vissza az oldalakhoz.

A befogók hányadosából az egyik

b = a√3

c = a + 4 a másik.

Jön a Pitagorász-tétel

a² + b² = c²

a megfelelő behelyettesítéssel

a² + (a√3)² = (a + 4)²

Itt már csak egy ismeretlen van és a műveletek elvégzése után egy másodfokú egyenletet kapunk,

3a² - 8a - 16 = 0

melynek az érvényes megoldása

a = 4

Ezután a másik befogó egy szorzással, az átfogó egy összadással adódik.

A szögek kiszámítása nem lehet gond.

******************************************************************************

3. feladat

a/b = 1/2

K = T

m = ?

**********

A megoldás képlete

m² = p*q

vagyis a magasság által felosztott átfogó szeleteire van szükség.

A rendelkezésre álló eszközkészlet a háromszög oldalaiból áll, ezekkel kell dolgoznunk.

Lássuk a megadott összefüggéseket.

Az elsőből

b = 2a

A másodikat kifejtve

2(a + b) = a*b

Két egyenlet a két ismeretlenhez, nincs gond.

Az elsőt a másodikba behelyettesítve, a műveletek elvégzése után meglesz az egyik befogó (a), a másik ennek kétszerese (b = 2a), az átfogó pedig a Pitagorász-tétellel adódik.

Teljes az eszközkészlet (a, b, c), hogyan tovább?

Előkapjuk az adu-ászt, bevetjük befogó-tételt!

p/q = a²/b² = 1/4

ebből

p/q = 1/4

p + q = c (amit fenntebb kiszámoltunk)

Az elsőből

q = 4p

ezt a másodikba behelyettesítve megkapjuk az egyik, majd egy szorzással a másik átfogószelet értékét.

Ezután már csak be kell helyettesíteni az

m² = p*q

egyenletbe, és készen vagyunk! Lehet örülni! :-)

A 3. feladat megoldása teljesen rossz! Fogalmam sincs, miért ruháztam fel a háromszöget egy téglalap kerületével??? :-) Kis rövidzárlat...

De sebaj, itt a javított változat.

3. feladat

a/b = 1/2

K = T

m = ?

**********

Először tanácstalanság, de behatóbb vizsgálat után feltünik némi fény az alagút végén.

Először is az a/b arány. Ez felfogható úgy is, mint a kisebbik szög tangense:

a/b = tgα = 1/2. Szögekkel kellene talán operálni?

Aztán kellene olyan összefüggés, amiben a magasság szerepel. Kis gondolkodás után beugrik, hogy van ilyen, mégpedig a terület: c*m/2!

Hogy néz ki ezzel a K = T egyenlet?

a + b + c = c*m/2

Megvan a magasság, osszuk el mindkét oldalt 'c'-vel, hogy egyedül legyen

a/c + b/c + 1 = m/2

Megjegyzés

Ha befogókkal felírt terület képletet használjuk

a + b + c = ab/2

és mindkét oldalt elosztjuk 'c'-vel

a/c + b/c + 1 = ab/(2c)

a jobb oldalon megjelenő ab/c mennyiség a magassággal egyenlő,

a/c + b/c + 1 = m/2

vagyis ugyanazt kapjuk.

Alakul, de lesz ez jobb is.

Átrendezve

a/c + b/c = m/2 - 1

A két tört az ismert tangenű szög további szögfüggvényei, éspedig

a/c = sinα

b/c = cosα

így

sinα + cosα = m/2 - 1

Már csak tangens-álruhába kellene öltöztetni őket.

Ha kiemelek cosα-t

cosα(tgα + 1) = m/2 - 1

A cos kicsit macerásabb, mert

cosα = 1/√(1 + tg²α)

ezzel lesz

(tgα + 1)/√(1 + tg²α) = m/2 - 1

A bal oldalon minden ismert, be lehet helyettesíteni az átláthatóság végett

A műveletek elvégzése után

3/√5 = m/2 - 1

És most már átszakíthatjuk a célszalagot

m = 2(3/√5 + 1)

Némi sminkeléssel (gyöktelenítés) után ez forma adódik

m = (6√5 + 10)/5

=============

Egy kis szorgalmi.

Miután tudjuk, mi tartja sátrat, lássuk mekkora a padló meg a tető.:-)

p = m*tgα

p m/2

q = m/tgα

q = 2m

c = p + q = m/2 + 2m

c = 5m/2

a² = c*p = 5m/2 * m/2

a = (m√5)/2

b² = c*q = (5m/2)*(2m)

b = m√5

Itt a vége, remélem most sikerült koncentrálnom.

Még valami:

Ezeknek a feladatoknak többféle megoldása lehet, az enyém csak egy ezek közül. Bármilyen más ötletre vevő vagyok. :-)

DeeDee

***********