Hogy lehet egy számot, tört alakba felírni?

Nagyon jó a kérdés.

Egy egyszerű módszerrel meg lehet mutatni tetszőleges véges szakaszos tizedestört törtalakját. Hogy ez valójában miért működik, ahhoz határértékszámítást kell tanulni.

Akkor lássuk;

Tegyük fel, hogy a keresett törtszámunk A, amelynek értéke 1,666..., tehát:

A = 1,666...

Ezt az egyenletet szorozzuk meg 10-zel:

10*A = 16,666...

Tudjuk, hogy A = 1,666..., így vonjunk ki az egyik oldalból A-t, a másik oldalon A-nak értékét, vagyis 1,666...-ot, ekkor ezt kapjuk:

9*A = 15, osztunk 9-cel:

A = 15/9, egyszerűsítés után 5/3 marad, tehát A=5/3.

A trükk itt az volt, hogy amikor kivontunk egymásból két végtelen szakaszos tizedestörtet, akkor egy idő után (speciel most már az első tizedesszámtól kezdve) ugyanazok a számok szerepeltek ugyanazon a helyiértéken, így különbségük nyilván 0 lesz, értelemszerűen végtelen sok 0-val a "végén", tehát az eredmény egy véges tizedestört (itt egész) lesz, amivel már könnyedén tudunk számolni.

Azt kell tudni, hogy mindig 10 megfelelő hatványával szorzunk (tehát 10-zel, 100-zal, 1000-rel, stb.) mindaddig, amíg az eredményben lévő egyik számjegy után ugyanúgy követik egymást a számjegyek, mint az eredetiben. A megfelelő hatványt aszerint választjuk meg, hogy milyen hosszú az ismétlődő szakasz; ha 5 számjegyből áll, akkor 10^5=100.000-rel szorzunk.

Vegyünk egy másik példát;

0,123123... (tehát az 123 ismétlődik). Megint legyen A a keresett törtszám, ekkor:

A = 0,123123..., most 1000-rel érdemes szorozni, mivel az 123 3 hosszú:

1000*A = 123,123123..., most kivonjuk a bal oldalból A-t, a jobb oldalból 0,123123...-at, ekkor

999*A = 123, erre A = 123/999 = 41/333 adódik.

Utolsó példa;

A = 0,1257878... (tehát a 78 ismétlődik)

Mivel a 78 két számjegyből áll, ezért elég csak 100-zal szorozni:

100*A = 12,5787878..., kivonás után:

99*A = 12,453, osztás után:

A = 12,453/99, ezt még illik olyan alakra hozni, hogy a számláló és a nevező is egész legyen, de ezzel most nem húznám az időt.

Nincs ebben semmi komplikált. A 2-es válaszoló szépen bemutatta az algoritmust, több példával szemléltetve is. Aki ebből nem érti meg, az egyszerűen lusta, mint amilyen a kérdező is.

Egy dologban viszont nem értek egyet a #2-vel, mégpedig hogy ennek bármi köze is lenne a határértékszámításhoz. Amit bemutatott az ugyanis egy algoritmus, azaz sablonosan végigvezetve a lépéseket, aki nem érti a matematikát, az is végig tudja számolni. Persze ha valaki lusta is, meg nem is érti, azon ez az algoritmus sem segít.

Az viszont érdekes kérdés lehetne, mondom ezt legfőképp a 2-nek(mert a kérdezőt úgy sem érdekli), hogy a zsebszámológép milyen módon számítja ki ezt. Mert a kérdező nyilván azt csinálja, hogy ráfekszik az ismétlődő számjegyre, de csak véges darabszámú számjegyet visz be.

Tehát a számológépen belűl egy másik algoritmus van, eltérő attól, ami #2-ben ismertetve volt.

"Egy dologban viszont nem értek egyet a #2-vel, mégpedig hogy ennek bármi köze is lenne a határértékszámításhoz. Amit bemutatott az ugyanis egy algoritmus, azaz sablonosan végigvezetve a lépéseket, aki nem érti a matematikát, az is végig tudja számolni."

Mint láthatod, nem azt írtam, hogy a használatához szükséges a határérték-számítás, hanem ahhoz, hogy ezt miért szabad így csinálni. Ugyanis az tudvalevő, hogy ez, és az ehhez hasonló "összeadogatós-kivonós trükkök" konvergens sorok esetén működnek biztosan, divergens sorok esetén meg nem sűrűn.

Klasszikus példa:

Mennyi 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... ?

Ez egy divergens sor. De használjuk a fent leírt "sablont";

Legyen A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Most adjunk hozzá 0-t:

A + 0 = 0 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Ha most a két egyenletet összeadjuk (az egymás felett álló +-1-ek összege 0):

2*A = 1, amire A=1/2 adódik, értelemszerűen ez nem lehet igaz.

Ha ez egy konvergens sor lenne, akkor értelmes eredményt kellett volna adjon a trükközésünk, de mivel divergens (ezt azért nem nehéz belátni), ezért nem jött ki semmi jó.

Minden szám felírható A + a1/10 + a2/100 + a3/1000 + ... + an/10^n alakban, ahol A egész, a1;a2;...an 0-tól 9-ig terjedő egész számok, értelemszerűen ez egy konvergens sor, ha n-> végtelen, és ha elfogadjuk, hogy konvergens sorokra tényleg működik, akkor itt is működni fog.