Írja fel a w vektort u és v lineáris kombinációjaként! (Ha nem lehet, indokolja, miért! ) u= (5,6) T v= (-3,4) T w= (-8, -2) T Hogyan kell megoldani?

Vektorok lineáris kombinációja alatt azok "összegét" szoktuk érteni. Például ha összeadjuk az u és v vektorokat, akkor a (2;10) vektort kapjuk; ha ezt s vektornak nevezzük, akkor u+v=s.

Ezekből a vektorokból akármennyit lehet venni; például ha veszünk 3 darab u és 8 darab v vektort, akkor az

u+u+u+v+v+v+v+v+v+v+v

vektort kapjuk, ami egyszerűbben is felírható 3u+8v alakban, ekkor a (-9;50) vektort kapjuk.

Természetesen lehet a vektorok törtrészét is venni, például az (1/4)*u vektor az u vektor negyede, ami (5/4;6/4), és negatívszorosát is.

Tegyük fel, hogy az u vektornak az a-szorosa, a v vektornak a b-szeresét vesszük, ezek lineáris kombinációja a*u+b*v, ennek kell a w vektornak lennie, tehát:

a*u+b*v = w

A legtöbb esetben az ilyen feladatoknál az a célravezető, hogy az i(1;0) és j(0;1) egységvektorok lineáris kombinációjaként írjuk át a vektorokat:

u=5*i+6*j=5i+6j

j=(-3)*i+4*j=-3i+4j

w=-8*i+(-2)*j=-8i-2j

és ezeket írjuk be a fenti egyenletbe:

a*(5i+6j)+b*(-3i+4j)=-8i-2j

Ahogyan azt megszokhattuk algebrából, ki lehet bontani a zárójeleket és össze lehet vonni/ki lehet emelni:

(5a-3b)*i + (6a+4b)*j = -8i-2j

Az egyenlet csak akkor lehet egyenlő, hogyha a két oldalon az i-k és a j-k száma megegyezik, tehát:

5a-3b=-8

6a+4b=-2

Értelemszerűen ezeknek egyszerre kell teljesülniük, tehát egyenletrendszert alkotnak, az egyenletrendszer eredménye: a=-1 és b=1, tehát

(-1)*u+1*v=w, az ellenőrzésnél lehet látni, hogy valóban így van.