Valakinek van valamilyen ötlete az alábbi feladathoz?

Kellene tudni, hogy hányadikos vagy és milyen összefüggéseket ismersz.

Például úgy is meg lehet oldani, hogy paraméteres egyenletként kezeled, most legyen a paraméter y, ekkor a másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint:

x = (y +- gyök(y^2-4*(y^2-31))/2

Elég csak a gyökös részre koncentrélni; ha meg tudod mondani, hogy hogy végtelen sok racionális y-ra ennek az eredménye racionális, akkor már kész is vagy.

Azt könnyen megsejtheti, hogy 12 egész megoldás van. Akár próbálgatással, vagy beírja a wolframalphaba.

A feladat érdekessége egyébként, hogy az egyenlet egy 45°-al elforgatott nagytengelyű ellipszist definiál. Kör esetén egyszerűbb lenne a megoldás.

Érdekesség még, hogy áttérhetnénk az x=cos(t), y=sin(t) helyettesítésre, amelyből sin(2t)=-60 adódik. Azaz sin(2t) értéke racionális. Persze az a kérdés, hogy ebből következik -e bármi is sin(t),cos(t)-re vonatkozóan.

Még egy segédtételt ki lehet mondani: Igazolható, hogy sin(t) és cos(t) egyidejűleg akkor racionális, ha tg(t/2) racionális. Ezt be lehet bizonyítani.

Ha valahogy sikerülne igazolni, hogy sin(t) és cos(t) racionálisak, abból már következne, hogy x,y racionálisak.

A fönti segédtételt csak említésből írtam, hátha valaki ebből el tud indulni. Aztán persze lehet hogy más irányba kell indulni. Mondjuk 9.osztály végére úgy tudom, már vannak szögfüggvények.

Van még más ötletem is, de az felsőbb matematikát igényel, azt nem mondom most.

Ha megvannak az egészek , akkor hasonlóan próbáld meg az

a^2-ac+c^2=31b^2 egyenletet is. Itt ugyanis b^2-tel osztva a két megoldás x=\frac{a}{b} és y=\frac{c}{b} lesz. Ha minden b-re (vagy legalábbis meghatározott b-kre) van megoldás, kész vagy.