Ezt hogyan kellene megoldani?

Átírod az egészet mondjuk 10-es alapú logaritmusra:

lg(x)/lg(5)+1 = 3*lg(5x)/

na valamiért elküldte... folytatva:

lg(x)/lg(5)+1 = 3*lg(5x)/lg(x)

Namost ebből két lehetőség lesz:

I.) lg(x)=3*lg(5) --> x1=...

II.) lg(5x)=0 --> x2=...

#3 Bocs, talán nem mindent írtam le részleteiben, mert csak gyorsan

fejben átgondoltam. Szóval lehet ez nem mindenkinek triviális elsőre, rutin hiányában.

A baloldalt törté lehet alakítani, felhasználva hogy 1=lg(5)/lg(5), így adódik hogy

lg(5x)/lg(5) = 3*lg(5x)/lg(x).

Persze itt azt az ismert összefüggést is felhasználtuk(fejben) hogy lg(x)+lg(5)=lg(5x) hiszen ez nyilvánvaló.

Most kiemelünk lg(5x)-el, és mondjuk mindent a baloldalra rendezünk, így jobboldalt zérus lesz csak:

lg(5x)*[1/lg(5)-3/lg(x)] = 0.

A baloldalról ordít, hogy ő bizony egy szorzat, márpedig az csak akkor lesz zérus, ha valamelyik tényező zérus, szóval ebből jön a két eset.

AZ első tényező vizsgálatából I.) adódik, a második tényezőből pedig II.)

Vizsgáljuk meg őket behatóbban!

A I.) szerint: lg(x)=3*lg(5). Ismert, hogy 3*lg(5)=lg(5^3), és az is hogy az lg szigorúan monoton. Emiatt az argumentumok egyenlők,

azaz:

x1 =5^3=125.

Másrészt II.) szerint lg(5x)=0, ebből x=1/5 adódik.

Aki grafikusabb szemléletű, a megoldásokat maga is ellenőruzheti pl. a wolframalpha felhasználásával:

I.eset:

[link]

II.eset:

[link]

A rendezésből nekem is kijött, csak azt gondoltam, hogy ebből "ránézésre" következik az az alak, amit felírtál, és azt nem láttam, hogy hogyan.

Én másik nyomvonalon indulnék el; kezdjük azzal az azonossággal, amit te is említettél, így az log(x)[5x]-ből log(x)[5]+log(x)[x] lesz, amiből pedig log(x)[5]+1, tehát:

log(5)[x] + 1 = 3*(log(x)[5] + 1)

A későbbiekre érdemes megjegyezni azt, hogy ha a logaritmus alapját és a számát felcseréljük, akkor az eredeti reciprokát kapjuk eredményül (akárcsak ha törtek esetén végeznénk el a helycserét), általánosan:

log(a)[b] = 1/log(b)[a], természetesen a megfelelő kikötések mellett.

Ezt meg lehet fontolni is, hogy miért van így, de a más alapra áttéréssel való számolással is kijön, csak az alapnak a logaritmus számát kell venni:

log(a)[b] = log(b)[b]/log(b)[a] = 1/log(b)[a]

Eszerint a log(x)[5]-ből 1/log(5)[x] lesz, tehát:

log(5)[x] + 1 = 3*(1/log(5)[x] + 1)

A jobb áttekinthetőség kedvéért érdemes bevezetni egy másik ismeretlent; legyen log(5)[x]=z, ekkor

z + 1 = 3*(1/z + 1)

Ebből pedig rendezés után egy másodfokú egyenlet fog kikerekedni, amit meg tudunk oldani, majd z helyére visszaírva a log(5)[x]-et, a kapott egyenletekből x értéke is meghatározható lesz.

Ez is jó végülis. De érdemes? Másodfokú egyenletre vezetni ha egyszerűbben is megy?

És ha jól látom, 5-ös alapú logaritmus van az eredményben. Tudom, hogy a mai "tudományos számológép" néven árusított zsebkalkulátorok tudják ezt, visszakeresni az argumentumot, de azért mégiscsak elegánsabb/kézenfekvőbb... nem folytatom, mert félek ebből vita lesz, ahhoz meg nincs kedvem.

Azt elmondhatjuk, hogy a másodfokú egyenlet még azok körében is biztos pont, akiknek kb. 0 tehetségük van a matematikához (mivel azt orrvézésig gyakoroltatják), viszont a kiemeléses módszert kevésbé, emiatt lehet érdemes. Ráadásul a sok "lg" (a megfelelő rutin hiányában) eléggé átláthatatlanná is teheti az egyenletet. Ez csak az én véleményem, és ezzel nem azt akarom mondani, hogy a te megoldásod nem jó, vagy nem "elég" jó, csak az álláspontomat írtam le. Abban viszont talán egyetértünk, hogy érdemes minél több praktikát ismerni.

De, mivelhogy több megoldás is jött a kérdésre, a kérdező válogathat, és eldöntheti, hogy neki melyik a kézenfekvőbb.

Hát azt majd a kérdező eldönti, neki melyik fekszik jobban. Sanda gyanúm, pótvizsgára készül, lehet azt sem érti miről van szó. Mellesleg a kiemelés általános iskolás tananyag, középiskolában pedig rutinszerűen használandó, akárcsak a teljes négyzetté alakítás. Erről jut eszembe, a te megoldásod is bizonyára teljes négyzetté alakítható.

Mondjuk ez már lehet kissé pikantéria.

Azt már csak félve merem említeni, hogy a másodfokú egyenlet megoldóképletének is az egyik igazolási lehetősége a teljes négyzetté való alakításon alapul, ahogy az Obádovics könyvében is található. Persze most már az újoncoknak Obádovics neve sem mond semmit, annak ellenére, hogy több évtized generációja tanult az Ő könyvéből. A maiak örülnek érettségin már annak is, ha 20%-ot sikerül összekaparni érettségin, kinézve a függvénytáblázat képleteit, aztán a maradék 5%-ot majd valahogy hozzávágják szóbelin az elégségeshez. Abba már bele sem megyek, mi lenne ezekkel, ha logarlécen kéne számolni, mint még az én időmben. Jól is tettem, hogy otthagytam a pedagógusi pályát. 30-40 éves tapasztalattal rendelkező pedagógusok alapbére messze alúl van pályakezdő mérnökök kezdő bérezésén. Nevetséges az egész oktatási rendszer. A pedagógusnak ma már nincs megbecsülése (sem anyagilag, sem erkölcsileg) ezentúl a diákok többsége nem érdeklődik, hajlam sincs a matematika és a természettudományok irányába. Ha ma egy matektanárnak sikerül belevernie a diákokba azt, hogy mi a logaritmus meg az exponenciális, az már nagy teljesítmény. Nem definíció szinten persze, hanem megértetni a lényeget. Az egy dolog, hogy be lehet magoltatni az azonosságokat, de megértés nélkül az nem vezet sehova. Mindegy is, hosszan lehetne ezt még ragozni, de nem akarok semmi vitát. Aki érti a mondandót, az úgyis tudja, aki meg nem, az így járt...

Bocs az offért.