Az üres halmaz ekvivalens önmagával?

"Az üres halmaznak viszont nincsenek elemei, amit egymáshoz rendelhetnénk."

Ez hasonló kérdés, mint hogy a nulla is szám-e. Van-e egy üres halmaznak elemszáma? Van-e értelme annak, hogy az összes eleme? :)

Úgy érzem, hogy van egy pár dolog, amit helyre kell raknunk;

"Minden véges halmaz ekvivalens önmagával, ha elemeik száma (számossága) megegyezik."

Minden véges halmaz (az üres halmazt mindjárt kitárgyaljuk) ekvivalens önmagával, már csak azért is, mert elemszáma triviálisan megegyezik a saját elemszámával; ha az A halmaznak 6 eleme van, akkor az A halmaznak 6 eleme van, így érthető okokból a 6-6 eleme kölcsönösen egyértelműen egymáshoz rendelhető. Általánosan pedig ha az A halmaznak n>=0 elemszáma van, akkor az A halmaznak n elemszáma van, és mivel n=n, ezért mindenképp létezik A->A-ban bijekció (azt is meg tudjuk mondani, hogy n!-féle kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létezik A-ból A-ba (ez n=0-ra is működik)).

Más megfogalmazásban; ha A=B, akkor |A|=|B|. Ez fordítva nem feltétlenül igaz, vagyis ha |A|=|B|, akkor A=B, egyyedül csak az üreshalmazra működik oda-vissza.

Hasonló a problémakör megértése ahhoz, mint amikor azt mondjuk, hogy az A halmaz a B-nek részhalmaza, hogyha A csak B elemeit tartalmazza. Itt külön hozzá szoktuk tenni, hogy az üres halmaz is részhalmaz, ráadásul minden halmaznak, és azért emeljük ki, mert a fenti -bár matematikailag szabatosan, de- hétköznapi értelemben kicsit sután van megfogalmazva; a "hogyha A csak B elemeit tartalmazza" azt érezteti, hogy az A halmaznak mindenképp kell elemet tartalmaznia, és azt is csak a B halmaz elemeiből teheti meg. Valójában, ha egy kicsit átfogalmazzuk (az eredetivel ekvivalensen) úgy, hogy "hogyha A nem tartalmaz olyan elemet, amelyet B nem tartalmaz", akkor máris jobban érthető, hogy az üres halmaz is mindig üres halmaz lesz.

Ahhoz, hogy az üres halmaz is beleeshessen (egyértelműen) az ekvivalencia definíciójába, egy kicsit át kellene fogalmazni az állítást; a Wikipédia szerint:

A és B halmazok ekvivalensek, hogyha létezik A->B bijektív leképezés, ami azt jelenti, minden B-beli elem pontosan egy A-beli elemhez van hozzárendelve és minden A-beli elemhez pontosan egy B-beli van hozzárendelve (kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létezik). Ezt sajnos annyival nem tudjuk elintézni annyival, hogy nem létezik nem bijektív leképezés (mert nyilván attól még lehet), hanem a bijekció definíciójába kell belenyúlnunk:

nincs olyan B-beli elem, amely nem pontosan egy (tehát 0 vagy legalább 2) A-beli elemhez van hozzárendelve és nincs olyan A-beli elem, amelyhez nem pontosan egy B-beli van hozzárendelve. Sajnos így kicsit kacifántosabbra sikerült a definíció, de ugyanazt jelenti, mint az előző, és így már az üres halmaz is belefér, ugyanis az üres halmaz->üres halmaz esetén nem tudsz olyan elemet mutatni, amely 0 vagy legalább 2 elemhez lenne hozzárendelve vagy hozzárendelődve.

Másképp is meg lehet közelíteni a kérdést; ha adott egy bijektív leképezés, és ha abból kiszedünk egy hozzárendelést, akkor a maradék bijektív leképezés marad, például:

1->2

2->3

3->1

Ha kivesszük az 1->2 hozzárendelést, akkor ami marad, az is bijektív marad. Ha viszont csak egy olyan hozzárendelésünk van, hogy 5->6, és ezt is megszüntetjük, akkor a "semmi" marad, de a fenti analógia szerint ez a "semmi" is bijektív.

__________

Ha már korábban beígértem, nézzük a bijekció felállításának lehetőségeinek számosságát. Nem tudom, hogy mennyire vagy járatos a kombinatorikában, mindenesetre itt az ismétlés nélküli permutációval lehet számolni (n gyerek hányféleképpen tud egymás mellé felállni-kategória), ahol pozitív n elemszám esetén n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1, például ha van 5 elemed, akkor 5!=5*4*3*2*1=120-féleképpen tudod sorbarakni őket. Ha n=0, akkor 0!=1 ("közmegegyezés" szerint). Felvetődhet a kérdés, hogy ha nem létesíthető az üres halmazban hozzárendelés, akkor mégis miért 1-féleképpen hozható létre hozzárendelés. A választ úgy kaphatjuk meg, hogyha egy kicsit más módon tesszük fel a kérdést; ha minden egyes hozzárendelésről listát készítünk, és minden lehetőséget más-más lapra írunk fel, akkor hány lapra van szükségünk? Ha a halmazunk az {1;2} lenne, akkor az {1;2}->{1;2} hozzárendelés esetén így néznénk ki:

első lap:

1->1

2->2

második lap:

1->2

2->1

Tehát 2 lapra van szükségünk.

Hogyha ugyanezt az {}->{} hozzárendeléssel játszuk el, akkor

első lap:

(nem írunk rá semmit)

tehát az összes leképezés (nem) leírásához 1 lapra van szükségünk (nyilván a "semmit" is listázni kell, elvégre nem tudnánk, hogy hány hozzárendelés létezik).

__________

" (nem tudom, hogy üres halmaznak lehet-e eltérő jelölést adni a megszokottól, és akkor esetleg ha a két jelölés egyenlő..)."

Az üres halmaznak van speciális jelölése, ami az "áthúzott karika", de megadhatjuk -mint minden halmazt- elemei felsorolásával is: {}, értelemszerűen "áthúzott karika"={}, és ugyanúgy van bijektív hozzárendelés a két halmaz között. De természetesen megadható leírással is üres halmaz, mint például {6-tal osztható prímszámok}, és ez is ekvivalens az előbbiekkel.

Bónusz kérdés: függvény-e, és ha igen, akkor bijektív-e az f(x)=1/(0*x)?

"a nevező nulla bármely x eleme R számra, tehát nem értelmezhető a kifejezés (nevezőben nem lehet nulla), ebből következően nem lehet függvény sem."

Sajnos nem esett le. Nem baj, majd belerázódsz :)

Egy A->B leképezést akkor hívunk függvénynek, hogyha minden a∈A-ra pontosan 1 b∈B létezik, hogy a->b, koordinátarendszerben ez úgy működik, hogy minden x∈A-ra pontosan egy y∈B van, hogy x->y.

Akárcsak az előbbi definíciókkal, ezzel is az a baj, hogy "józan paraszti ész" szerint szükségszerűen léteznie kell az A-ban elemnek. Viszont ha negációkkal fogalmazzuk meg a definíciót:

Egy A->B leképezést akkor hívunk függvénynek, hogyha nem létezik a∈A, hogy arra nem pontosan 1 b∈B létezik, hogy a->b, koordinátarendszerben ez úgy működik, hogy nem létezik x∈A, hogy arra nem pontosan egy y∈B van, hogy x->y. Emiatt (és persze a korábbiakra alapozva is) látszik, hogy az 1/(0*x) függvény (annak ellenére, hogy nincs olyan x, hogy értelmes műveletet kanánk), és azt is meg tudjuk mondani, hogy melyik halmazból melyik halmazba képez: {}->{}. Sőt, azt is meg tudjuk mondani, hogy bijektív a leképezés (ahogy azt már kitárgyaltuk).

"Véleményem szerint bijektív függvények a lineáris függvények, mert minden x-hez pontosan egy y, és minden y-hoz pontosan egy x-et rendelünk hozzá."

A lineáris függvénnyel csak annyi a gond, hogy abba a konstans függvény is beletartozik, tehát ebben a formában nem igaz az állításod, sem a hivatkozásod. Ha azt írod, hogy elsőfokú lineáris függvények, máris jó vagy. Azt viszont matematikailag meg kell mutatnod (bizonyítanod), hogy minden f(x)=m*x+b alakú (lineáris) függvény, ahol m;b valós és m=/=0, bijektív, nem elég csak "rámondani". Például lehet úgy is, hogy ha x>0, akkor a függvény szigorúan monoton növő (vagyis tetszőleges a>b-re f(a)>f(b), értelemszerűen ekkor ugyanazt az értéket nem veheti fel kétszer), ha pedig m<0, akkor szigorúan monoton csökkenő (tetszőleges a>b-re f(a)<f(b)).

"Konstans függvények és a páros kitevőjű függvények nem lehetnek bijektívek, mert egy y-hoz több x-et rendelünk hozzá. Viszont itt megjegyzem, hogy a függvény definíciója szerint az x-ekhez mindig csak egy y-on értéket rendelhetünk hozzá, y-okhoz viszont akár akármennyi x értéket (lásd konstans függvény)."

Ebbe is bele lehet kötni;

páros kitevőjű függvény: {0}->{0} f(x)=x^2

konstans függvény: {0}->{2} g(x)=2

Persze általában véve igazad van, de konstruálhatóak kivételek. Emiatt lényeges az, hogy mindig, minden pontosan legyen megfogalmazva.

"Most azon gondolkozom, hogy akkor hogy nevezik azt, amikor csak az x-ekhez vannak egyértelműen hozzárendelve az y-ok."

Ezeket hívjuk függvényeknek. Ha arra gondoltál, hogy azt hogyan hívjuk, hogy minden y pontosan 1 x-hez van hozzárendelve, például:

1->1

1->2

1->3

1->4

..., ennek nincs külön neve, ez egy mezei szürjektív leképezés.

"A bijekciónál úgy tudom kölcsönösen egyértelműnek kell lenni a leképezésnek, tehát minden y-hoz csak egy x-et kéne rendelni."

Igen. Máshogyan megfogalmazva; ha a leképezés injektív és szürjektív, akkor bijektívnek hívjuk.

Én is úgy gondolom, hogy ha valami nem jó, azt indokolni is kellene, nem csak lepontozni...

Emiatt engem nem is nagyon érdekel a lepontozás. Nekem az a lényeg, hogy a mindenkori Kérdezőnek hasznos a válaszom.