Milyen hosszan van szabadon egy ismert hosszú szíj két különböző, de ismert átmérőjű kerék között?

Jól értem, hogy azt a részt akarod kiszámolni, ami nem fekszik a tárcsákra? Ha igen, akkor:

-Felrajzolod az ábrát.

-Tudni kell, hogy a szíj matematikailag érintője a körnek, az érintési pontba futó sugár pedig merőleges rá. Ez alapján az ábrába be tudsz rajzolni egy derékszögű trapézt; behúzod az említett sugarakat és összekötöd a körök középpontjait, a trapéz negyedik oldala a szabad szíjrész lesz (a két párhuzamos a két sugár lesz, amik az érintési pontba futnak).

-Ennek a trapéznak ismered három oldalát és a negyediket szeretnéd megtudni, ehhez húzzuk be a trapéz magasságát a rövidebbik oldal végéből, így a trapézt egy téglalapra és értelemszeren egy derékszögű háromszögre vágtuk fel, ahol a háromszög átfogója a kérdés. Kis gondolkodás után rájövünk, hogy a derékszögű háromszög befogóit ki tudjuk számolni, így egy sima Pitagorasz-tétellel már ki is jön az átfogó hossza.

Felírható rá összefüggés, de ezt az életben nem oldod meg algebrailag (esetleg ha tudsz Taylor-sorba fejteni, akkor lehet szép eredményeket elérni).

A képlet:

K = 2*l + 2*r*pi*(2*z/360°) + 2*R*pi*((360°-2*z)/360°)

A képletben a szereposztás a következő:

K: a kerület, vagyis esetünkben a szíj teljes hossza (hogyha a lehető legmerevebben van rátekerve)

l: a "szabad szíjhossz"

r: a kisebbik tárcsa sugara

pi: a kör kerületképletéből jól ismert konstans, amit 3,14-re szoktunk kerekíteni

R: a nagyobbik tárcsa sugara

2*z: azt tudjuk, hogy a szíj a körökre egy körcikk ívén fekszik fel. A 2*z annak a körcikknek a középponti szögét jelöli, amelynek ívére felfekszik a szíj (a szöget fokban mérjük).

Most jön a bonyodalom; hogyan számolható ki a z szög nagysága?

Az ábrában berajzolható a jól ismert derékszögű háromszög. Ennek egyik befogója R-r hosszú, átfogója legyen d (ez a tengelyek távolsága), innen egy sima szinusszal

sin(z) = l/d

Viszont a derékszögű háromszögben felírható Pitagorasz tétele:

(R-r)^2 + l^2 = d^2, vagyis

gyök[(R-r)^2 + l^2)] = d (NEM VONHATUNK GYÖKÖT TAGONKÉNT!)

Ezt beírva a szinuszba:

sin(z) = l/gyök[(R-r)^2 + l^2)], ennek a megoldása z-re:

z = arcsin{ l/gyök[(R-r)^2 + l^2)] }, az eredményt fokban értjük.

A különböző zárójelek csak a jobb áttekinthetőséget szolgálják, funkciójukat tekintve nincs különbség.

Ez természetesen beírható a fenti képletben z helyére.

Szóval kaptunk egy nagyon csúnya polinom+arkuszszinuszos vegyes rusnyaságot, de legalább csak 1 ismeretlen van az egyenletben, az l. Most vagy megpróbálkozol az adataiddal valami értékelhetőt kihozni az egyenletből (mint az előbb említett Taylor-sorfejtés, amit ha a négyzetes tagig csinálsz meg, akkor egy másodfokú egyenletet kapsz, amit még emberi keretek között meg lehet oldani), vagy bepattintod egy WolframAlphába:

[link]

Aztán hátha ad ki valami értékelhetőt.

Oda kell viszont figyelni, mert a WolframAlpha alapvetően radiánban számol, nem fokkal, tehát ha kijön az eredmény, és visszaellenőrzöl, akkor az arcsin(...) értékre a WolframAlpha egy radiánértéket ad ki. Ha tudsz radiánnal továbbszámolni a kerülethez, akkor nincsen semmi probléma, viszont ha fokkal szeretnél számolni, akkor át kell váltanod a radiánértéket fokba; ehhez azt kell tudnod, hogy

pi radián = 180°, innen pedig az egyenes arányosság elve alapján

1 radián = 180°/pi, innen pedig

(amilyen radiánt kaptál) radián = (amilyen radiánt kaptál)*180°/pi, és így jön ki a szög fokban a jobb oldalra.

Illetve lehet egy kicsit segíteni a WolframAlphának, hogyha a derékszögű háromszögben nem szinusszal számolunk, hanem koszinusszal:

cos(z) = (R-r)/gyök[(R-r)^2 + l^2)], innen

z = arccos { (R-r)/gyök[(R-r)^2 + l^2)] }

A fő képletben pedig felcserélődtek az "r"-ek. Helyesen:

K = 2*l + 2*R*pi*(2*z/360°) + 2*r*pi*((360°-2*z)/360°)

A z szög pedig a NAGY TÁRCSÁRA vonatkozik.