Létezik olyan függvény, melynek határértéke minden értékre ugyanaz a szám, de végtelenben különböző?

Azt hiszem, hogy rosszul fogalmaztam meg, de lássuk a függvényt:

vegyünk egy 45°-os szakaszt. A szakaszon lépcsőfokokat emelünk. A függvény változója a lépcsőfokok száma, kimenete, a lépcsőt alkotó szakaszok hosszának összege. Ezen lépcsőfokok egy-egy vízszintes és függőleges szakaszból állnak. A lépcsőfok(ok) egyelő nagyságúak. Látható, hogy a függvény kimenete minden esetben a szakasz x és y értékeinek összege, de, ha végtelen ilyen lépcsőfokot építünk lejtőnkön, akkor minden fok magassága és hossza 0-lesz, ebből következik, hogy minden lépcsőfok, minden pontja 0-távolságra lesz a lejtőtől, ez pedig azt jelenti, hogy ebben az esetben x+y helyett gyök(x*x+y*y) lesz a lépcső mérete. Helye ez így, vagy ebben az esetben is ugyanakkora lesz a lépcső mérete, mint bármely pozitív szám behelyettesítésével?