Mátrixokkal történő egyenletrendezésnél hogyan állapítom meg, hogy milyen sorrendben kell a mátrixszorzásokat felírni?

Azt tudjuk, hogy a mátrixok szorzása nem felcserélhető művelet, hanem balról-jobbra kell elvégezzük azt. Ezért mindig azt kell megnéznünk, hogy hova tehetjük a mátrixot.

Ha az ABC=DEF egyenletben mindenki mátrix, és az A-t akarjuk eltüntetni, akkor azt csak úgy tudjuk megtenni, hogyha a BAL oldalra tesszük az inverzet, vagyis

A(-1)ABC = A(-1)DEF

Majd mivel A(-1)*A=E (egységmátrix), ezért az marad, hogy BC = A(-1)DEF. Ha az A esetleg nem négyzetes mátrix, akkor előfordulhat, hogy nincs bal, csak jobb inverze, azt most hirtelen nem tudom, hogy azzal mit lehet kezdeni. Szóval maradjunk annál, hogy a jelenlegi mátrixok négyzetesek, mivel azokra teljesül, hogy a szorzótényezők felcserélhetőek, vagyis A*A(-1)=A(-1)*A=E. Tehát ha az A-t akarjuk eltüntetni, akkor ezt tudjuk eljátszani.

Ha a C-t szeretnénk eltüntetni, akkor a JOBB oldalra kell írnunk az inverzet:

ABC*C(-1) = DEF*C(-1)

Mivel a mátrixszorzás asszociatív (úgy zárójelezel, ahogy akarsz), ezért most így akarunk zárójelezni:

AB*(C*C(-1)) = DEF*C(-1)

A bal oldal jobb oldalán így E keletkezik, és mivel E*A=A*E=A, ezért elhagyhatjuk, tehát:

AB = DEF*C(-1).

Nem tudom, nálad mi az "eltüntetés", de a fenti példákban semmi sem tűnt el, hiszen a másik oldalon ott van az inverz.

Mátrixegyenleteknél ez lehet egy technikai részletkérdés, de mindig azt érdemes vizsgálni, mi az eredeti cél. Például tegyük fel, az eredeti probléma, hogy adott a fenti egyenlettel leírt B mátrix, a kérdés az, milyen tulajdonságai vannak. Ehhez elő kell tudni állítani egy B = f(valami) mátrix alakot, ahol azt vizsgálni lehet. Ekkor

B = A^(-1)DEFC^(-1). A mátrixszorzásokat végrehajtva, vizsgálhatók a kapott mátrix tulajdonságai.