Mi a megoldas, soha?

Tapasztalatból tudjuk, hogy bármelyik pontba el lehet jutni, csak idő kérdése.

Amúgy Zénón, ókori filozófus feladványa arról szól, mikor éri utol Akhilleusz a teknőst. Elvileg soha, hiszen mire elér arra a helyre, ahol a teknős most van, a teknős már kicsit előrébb lesz. Mire megint elér a teknős helyére, az megint kicsit előrébb lesz. Tapasztalatból viszont tudjuk, hogy ha teknőssel versenyzünk, meg tudjuk előzni. :-)

A paradoxon feloldása abban rejlik, hogy az utak rövidülésével az idő is rövidül, viszont ha az időket összeadjuk, akkor az összeg mindig egy véges időnél kisebb lesz;

Tegyük fel, hogy a teknős 1 perc alatt tesz meg 1 métert, ekkor

1 perc alatt megtesz 1 métert, majd

0,5 perc alatt megtesz 0,5 métert, majd

0,25 perc alatt megtesz 0,25 métert, majd

...

Ezeket a számokat összeadva azt kapjuk, hogy amíg 1+0,5+0,25+... métert megtesz, addig 1+0,5+0,25+... perc telik el, kérdés, hogy ez az összeg mennyi, illetve végtelen-e vagy sem. Nem is annyira magától értetődő ennek az eredménye, viszont ha kicsit átírjuk a feladatot, akkor tudunk mondani olyan esetet, amikor ránézésre megmondható, hogy az összeg véges;

Maradjunk annál, hogy a teknős 1 perc alatt megtesz 1 métert, és mindig nézzünk rá az eggyel korábbi ránézéstől számított időtartam 1/10-énél, hogy mennyi utat tett meg a teknős. Vagyis

1 perc alatt megtesz 1 métert, utána

0,1 perc alatt megtesz 0,1 métert, utána

0,01 perc alatt megtesz 0,01 métert, utána

...

Összesen tehát 1+0,1+0,01+... perc telik el, ezidő alatt 1+0,1+0,01+... métert tesz meg a teknős. Ezeket a számokat nem nehéz összeadni, így kapjuk az 1,111... végtelen szakaszos tizedestörtet, amelyet tanulmányaink alapján nem nehéz felírni törtalakban; például úgy, hogy tudjuk, hogy 1/3=0,333..., akkor 3-mal osztva 1/9=0,111...-et kapunk, tehát 1,111... = 1 + 1/9 = 10/9.

Tehát azt kapjuk, hogy ha *végtelenszer* vizsgáljuk a teknőst, akkor 10/9 métert fog megtenni ÉS 10/9 perc telik el.

Itt jön a csavar a történetben; ha véges tagokat adunk össze (mondjuk az első 100-at), akkor nagyon közel jutunk az eredményhez, és ahogy továbbiakat összeadunk, úgy jutunk egyre közelebb, és ez alapján azt is mondhatnánk, hogy valójában soha nem fogja ezt a távolságot megtenni. Viszont ha ez így volna, akkor 10/9 percnél sem telhetne el több! Pedig azt tudjuk, hogy ez az időmennyiség eltelik, így a teknős is kénytelen elérni az adott pontig.

De ez pont, hogy matematika.

Csak az ókori görögök ezt a fajta matematikát még nem ismerték.

Ez akkor sem filozófiai kérdés, mivel nem a filozófia fogja megmondani, hogy mi történik.

Ilyen értelemben ez egy tapasztalati kérdés, kísérlettel lehet kideríteni.

Érdekességnek egy-két dolgot hozzá... 😀 Például, hogy pl a pontosabb Zénón paradoxon azért nem így szól, hogy megy a teknős 🙄, de tényleg a lényege az így is ugyanaz, ez mondjuk igaz. (Link lent.) Másik, hogy a Zénón paradoxont Arisztotelész jegyezte fel és az eredeti nem maradt fenn Zénóntól, sőt Zénóntól eredetiben semmi sem maradt fenn, hanem közismert volt az ókorban így Arisztotelész is említi. Meg még az is ki szokott felejtődni, hogy Arisztotelész sem ismerte el helyesnek és több érvet is közölt róla, vagyis feloldották már az ókorban is a paradoxont. Zénón amúgy sem matematikai "feladványnak" szánta, mert hát tudták, hogy a lassabb utoléri a gyorsabbat. Vagyis szó sincs arról sem, hogy "nem tudták megoldani" - mivel néhol ugye ilyet is írnak róla. Igazából nem matematikailag szólt a paradoxon és nem is matematikai megoldásokat kerestek rá, de egy matematikai levezetést azt később kitaláltak hozzá és valóban matematikailag is megoldható a paradoxon, csak ezt úgy szokták mondani, hogy később a matematikai megoldáskor tudták a paradoxont megoldani (ami így azért téves). A közhiedelemmel ellentétben ennek a megoldásához valójában nincs szükség a modern matematikára és nem is olyan választ kerestek rá.

Gondolom ezek a teknős és a futóhoz esetéhez kicsit pontosítják a kerettörténetet. Na és van még hozzá 😊, mégpedig az, hogy Arisztotelész nem írt teknősről, csak említi Akhilleuszt, Zénón érvelését és futókról ír, amihez a későbbi kommentárok tették hozzá a teknősbékát a lassú futó helyettesítésére. És eredetileg arról meg végképp egy szó sem volt, hogy a teknős kihívta Akhilleuszt versenyre. 😋 Ami mondjuk nem baj, mert teknős úgyis jópofa állat és nem sajnáljuk tőle a szerepet. 😊 (Matematikai képletekkel is szoktak rá válaszolni, amire na ná, hogy nem vállalkozom, mert az matematikusok területe, de van olyan is.)

A paradoxon feloldása lényegében nagyon egyszerű, mivel a matematikai végtelenség és a fizikai végtelenség között különbség van, ezek nem ugyanazok. Másik lépés, hogy a sorozatos út felezések miatt egy végtelen út felezésbe fut a közlés, és kimarad az idő arányos feleződése. És az út feleződésével az idő is feleződik, tehát a sebesség azonos marad, csak a mérés távja változott (feleződik). Vagyis az út és az idő arányos feleződése közben azonos a sebesség, vagyis közben nincs lassuló sebesség.

Bár a folyamatos út feleződés retorikája miatt azt a képzetet kelti, hogy lassul a futó, pedig nem lassul. Szó sincs róla, hogy lassulna. Így adott távot ugyanúgy lehet számolni az adott változatlan sebességgel és simán iskolai alap számítással oldható meg.

........

[link]

[link]

[link]

[link]

és akkor most nézzük a gyakorlati problémát. Addig oké, hogy észrevesszük, egy mértani sorozatról van szó. Az is rendben, hogy határértékekről értekezünk. Csakhogy van itt egy sarkalatos probléma!

A konvergens mértani sorozatok (minden konvergens monoton sorozat) alapvető tulajdonsága, hogy bármilyen kicsi értékhez van olyan index, amelytől kezdve a sorozat összes (végtelen sok) tagja ennél kisebb.

Ám akár Akhillész, akár teknős, de akár egy baktérium, jól definiált véges kiterjedése van. És van az az index, amelyhez rendelt értéket nem tud lépni, csak nagyobbat. És az komoly gond, mert bármit, a határétéket is át fogja lépni (lehagyja).

Nem érdemes összemosni a valóságot annak elméleti modelljével, mert ez két dolog, még ha legfontosabb tulajdonságaik hasonlók is.

De én ezt nem is értem. Ha a teknős és Akhilleusz sebessége ugyanakkora, akkor nem fogja utolérni. Ha Akhilleusz gyorsabb, akkor előbb-utóbb utoléri. Ez ilyen egyszerű, nem?

Maga a paradoxon eleve abszurd, ki talál ki ilyesmit? Matematikailag persze jó feladvány, de hát na, nyilvánvaló, hogy hülyeség. Ugyanolyan hülyeség, mint hogy a fának hajított kő sosem éri el a fát.