( (3^ (1/2) ) -3i) ^2011 alegbrai és trigonometrikus alakja?

algebrai alakja gyok(3)-3i, azaz a = gyok3; b = -3

trigonometriai alak átírásához először ki kell számolni a sugarat, ez sima pitagorasz tétel

r = gyok((gyok3)^2+(-3)^2) = gyok(12)

Mivel a valós része a cos és a képzetes része a sin, ezért nekünk egy olyan szög kell, ahol cos pozitív, sin pedig negatív, ez pedig a 4. negyedben van (270-360ig).

A szöget pedig megkapjuk, sin(alfa) = b/r -ből, azaz -3at elosztjuk a sugárral, ami -3/gyok(12) = -3/2gyok(3) = -(gyok(3)*3) / 6 = -gyok(3) / 2, ez pedig a -60fok, ami a 300foknak felel meg.

(0- és 360 között ugye lenne még egy megoldás, a 240fok, de az elején leírtak miatt a 4. negyedben keressük a szöget, ezért a 300 a jó, mert ott lesz a cos pozitív)

Innen tehát z = gyok(12)*(cos300+i*sin300)

Én így szoktam csinálni.

x^4=1+i

1+i-t átírom trigonometrikus alakba:

r = gyok(1+1) = gyok(2)

első negyedben vagyunk, mert mindkettő pozitív

sin(alfa) = 1/gyok(2) -> alfa = 45fok

innen 1+i = gyok(2)*(cos45+i*sin45)

tehát x^4 = gyok(2)*(cos45+i*sin45)

trigonometrikus alakot úgy hatványozunk, hogy a sugarat annyiadik hatványra emeljük, a szöget pedig a hatványkitevővel szorozzuk. Ez alapján egy megoldást könnyen megkapunk

x1 = nyolcadikgyok(2)*(cos(45/4)+i*sin(45/4))

csak visszafele gondolkoztunk

A többi megoldást pedig azzal a logikával kapjuk, hogy tudjuk, hogy a szöget 4-el kell szorozni a hatványozásnál, viszont 360fok ugye már egy teljes kör, tehát ha valaminek a négyszerese 360+45 = 405fok, az is jó megoldás lesz. Hasonlóképpen a 3. és negyedik gyököt 720+45 = 765 és a 1080+45 = 1125 szögek segítségével kapjuk.

Tehát a gyökök:

x1 = nyolcadikgyok(2)*(cos(45/4)+i*sin(45/4))

x2 = nyolcadikgyok(2)*(cos(405/4)+i*sin(405/4))

x3 = nyolcadikgyok(2)*(cos(765/4)+i*sin(765/4))

x4 = nyolcadikgyok(2)*(cos(1125/4)+i*sin(1125/4))

Ezeket, ha gondolod vissza lehet alakítani sima beszorzással algebrai alakba.

Remélem tudtam segíteni :)

Ilyenekre van (többek között) a remek kis wolframalpha oldal:

[link]

Mondjuk a megoldásban nagy segítség, de a megértéshez kicsit több kell.

maci