Matek feladat: Egy téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek összege 14, négyzetük összege 84. Az egyik él mértani közepe a másik kettőnek. Mekkora a téglatest felszíne és térfogata?

Legyen három él

a, b, c (a< b < c)

Három összefüggés írható fel

(1) a + b + c = 14

(2) a² + b² + c² = 84

(3) b² = ac

F, V = ?

-----------

Az (1) egyenletet négyzetre emelve kapjuk

(4) a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 196

Behelyettesítve az ismert értékeket

84 + 2(ab + bc + b²) = 196

Rendezés, egyszerűsítés után

ab + bc + b² = 56

A bal odalon b-t kiemelve

b(a + b + c) = 56

A zárójelben levő összeg ismert, így

14b = 56

vagyis

b = 4

Ezt visszahelyettesítve az (1) és (3) egyenletekbe kapjuk

a + c = 10

a*c = 16

Az elsőből

c = 10 - a

ezt a másodikba behelyettesítve

a(10 - a) = 16

A műveletek elvégzése, majd rendezés után az

a² - 10a + 16 = 0

másodfokú egyenletet kapjuk, melynek gyökei

a1 = 8

a2 = 2

Tehát a három él

a = 2

b = 4

c = 8

Ezekkel a felszín

Mivel a felszín

F = 2(ab + bc + ac)

A (4) egyenletet így is fel lehet írni

84 + F = 196

amiből

F = 196 - 84

F = 112

==========

A térfogat

V = a*b*c

V = 2*4*8

V = 64

======

DeeDee

***********