Matek (sorozat)?

limesz n tart végtelenhez...

[(3n-3)/(n+1)] = (3n/(n+1) - (3/n+1)

Ennek az első tagja 3n/n alakú ezért 3-hoz tart.

A második tagja 1/n alakú ezért nullához tart.

Az összegük ezért 3-hoz tart.

Zöld kezet! :-D

A kommentedből arra következteted, nem érted a szemléletét a dolognak.

3-hoz tart egy sorozat. Ez durván azt jelenti, hogy egyre közelebb lesz a 3-hoz, de nem feltétlenül éri el azt.

Pl. vegyük az 1/n sorozatot. Soha nem éri el a nullát, mert n helyére akármilyen nagy számot írsz, 1/n>0. Viszont, ahogy n helyére egyre nagyobb számot írsz, 1/n úgy lesz egyre kisebb. Tetszőlegesen közel tudod rakni 1/n-et a 0-hoz, csak elég nagy n-et kell mondanod.

> végül is itt akkor nem lehet megadni legkisebb felső korlátot,csak a legnagyobb alsó korlátot ami 1/2.

Mivel n csak természetes szám lehet, ezért ez a sorozat alulról és felülről is korlátos. n=1 esetén az értéke 0.5, n=2 esetén 0.75 stb. A sorozat szigorúan monoton nő. (Ezt úgy tudod bizonyítani hogy felírod az n+1-edik és az n-edik tag különbségét és belátod hogy pozitív.) Tehát a sorozat legkisebb eleme a 0.5, és szigorúan monoton nő. De soha nem éri el a 3-mat. Határértéke végtelenben +3.

Ha megnézed a definíciót:

[link]

akkor abból kitűnik, hogy egy halmaz felső korlátja bármely olyan szám, aminél nagyobb elemek nincsenek benne. A mi esetünkben a 4 felső korlátja. Ugyan így az 5000 is felső korlátja.

A "pontos felső korlát" vagy másnéven "limesz szuprémum" az a felső korlátok közül a legkisebb (ha van ilyen). A mi esetünkben ez az három! Azért, mert a sorozat minden eleme kisebb mint három (tehát nem éri el), és azért is mert nincs olyan szám ami háromnál kisebb, és korlátja a sorozatnak. (Ezt úgy lehet belátni, hogy választasz egy epszilon tetszőlegesen kicsi számot, kivonod háromból, és kiszámolod hozzá azt a N határszámot aminél nagyobb indexű tagok a sorozatban 3-epszilon-nál NAGYOBBAK, és ebből következik hogy a választott 3-epszilon az NEM FELSŐ KORLÁTJA, így tehát pontos felső korlátja sem lehet.)

Szóval DE VAN LEGKISEBB FELSŐ KORLÁTJA és ez pontosan a sorozat határértékével egyezik meg a te esetedben.