Matek (sorozat)?

Figyelt kérdés

Van egy sorozat:

{(3n-2)/(n+1)}

Hogy lehet megadni,hogy mi a legkisebb felső korlátja?Az alsó az könnyű,csak beírok 1-et az n helyére.Számológépbe írogattam elég nagy számokat,de 3-nál nem kaptam nagyobb értéket(úgyhogy valószínűleg az a felső korlát).


2012. szept. 22. 12:24
 1/8 nagylzs ***** válasza:
100%

limesz n tart végtelenhez...


[(3n-3)/(n+1)] = (3n/(n+1) - (3/n+1)


Ennek az első tagja 3n/n alakú ezért 3-hoz tart.

A második tagja 1/n alakú ezért nullához tart.


Az összegük ezért 3-hoz tart.


Zöld kezet! :-D

2012. szept. 22. 12:39
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/8 A kérdező kommentje:
köszi,de végül is mikor éri el a 3-mat?
2012. szept. 22. 12:48
 3/8 anonim ***** válasza:

A kommentedből arra következteted, nem érted a szemléletét a dolognak.


3-hoz tart egy sorozat. Ez durván azt jelenti, hogy egyre közelebb lesz a 3-hoz, de nem feltétlenül éri el azt.


Pl. vegyük az 1/n sorozatot. Soha nem éri el a nullát, mert n helyére akármilyen nagy számot írsz, 1/n>0. Viszont, ahogy n helyére egyre nagyobb számot írsz, 1/n úgy lesz egyre kisebb. Tetszőlegesen közel tudod rakni 1/n-et a 0-hoz, csak elég nagy n-et kell mondanod.

2012. szept. 22. 14:22
Hasznos számodra ez a válasz?
 4/8 anonim ***** válasza:
Ehhez meg kell nézni a sorozat monotonitását, és kell a határértéke is. Az elsőt meg lehet mondani például az a_(n+1)-a_n különbség előjelvizsgálatával. A sorozat konvergens, és határértéke A=3. Ezt tetszőlegesen megközelíti, de el nem éri. Egyébként a sorozat szigorúan monoton növekvő (a_1=1/2=0.5, a_2=4/3=1.333, a_3=7/4=1.75). Így a sorozat korlátos is, alsó korlátja (pontosabban alsó határa) k=a_1=1/2 és felső korlátja (határa) K=A=3. Magyarán 1/2<=a_n<3, minden neN esetén :)
2012. szept. 22. 18:38
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/8 nagylzs ***** válasza:
Soha nem éri el a hármat. De a korlát definíciójában nem szerepel, hogy mit ér el. A határérték definíciójában se. Csak annyit kötnek ki, hogy tetszőleges pontossággal megközelíti. Javaslom olvasd el a határérték definiciojat és jó alaposan gondold át, és értelmezd.
2012. szept. 22. 20:56
Hasznos számodra ez a válasz?
 6/8 A kérdező kommentje:
köszi
2012. szept. 23. 13:21
 7/8 A kérdező kommentje:
végül is itt akkor nem lehet megadni legkisebb felső korlátot,csak a legnagyobb alsó korlátot ami 1/2.
2012. szept. 23. 13:22
 8/8 nagylzs ***** válasza:

> végül is itt akkor nem lehet megadni legkisebb felső korlátot,csak a legnagyobb alsó korlátot ami 1/2.


Mivel n csak természetes szám lehet, ezért ez a sorozat alulról és felülről is korlátos. n=1 esetén az értéke 0.5, n=2 esetén 0.75 stb. A sorozat szigorúan monoton nő. (Ezt úgy tudod bizonyítani hogy felírod az n+1-edik és az n-edik tag különbségét és belátod hogy pozitív.) Tehát a sorozat legkisebb eleme a 0.5, és szigorúan monoton nő. De soha nem éri el a 3-mat. Határértéke végtelenben +3.


Ha megnézed a definíciót:


[link]


akkor abból kitűnik, hogy egy halmaz felső korlátja bármely olyan szám, aminél nagyobb elemek nincsenek benne. A mi esetünkben a 4 felső korlátja. Ugyan így az 5000 is felső korlátja.


A "pontos felső korlát" vagy másnéven "limesz szuprémum" az a felső korlátok közül a legkisebb (ha van ilyen). A mi esetünkben ez az három! Azért, mert a sorozat minden eleme kisebb mint három (tehát nem éri el), és azért is mert nincs olyan szám ami háromnál kisebb, és korlátja a sorozatnak. (Ezt úgy lehet belátni, hogy választasz egy epszilon tetszőlegesen kicsi számot, kivonod háromból, és kiszámolod hozzá azt a N határszámot aminél nagyobb indexű tagok a sorozatban 3-epszilon-nál NAGYOBBAK, és ebből következik hogy a választott 3-epszilon az NEM FELSŐ KORLÁTJA, így tehát pontos felső korlátja sem lehet.)


Szóval DE VAN LEGKISEBB FELSŐ KORLÁTJA és ez pontosan a sorozat határértékével egyezik meg a te esetedben.

2012. szept. 23. 17:21
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!