Hogyan oldanátok meg a következő egyenletet: x^3-5 (x^2) -500=0?

Ha ismered és tanultad a harmadfokú egyenlet megoldóképletét, akkor azzal.

Ha nem, akkor meg kell sejteni az egyik gyökét, majd gyöktényezős alakkal szorzatra bontani.

Ez esetben x=10 az egyik gyök (behelyettesítve kijön...).

Ekkor kiemelhető az (x-10) kifejezés:

x^3 - 5(x^2) - 500 =

= (x-10)*(x^2 + 5x + 50)

A második tényező nem lehet nulla, mert a diszkriminánsa negatív.

Így csak az x = 10 a megoldás.

Ja, amúgy a komplex számok halmazán kijön a

-2,5 +- gyök(43,75)*i is.

Azért azt a "megsejtést" se ártani felírni :)

Írjuk át így az egyenletet: x*(x^2-5x)=500, ekkor a bal oldalon egy szorzat van. Tudjuk, hogy két egész szám szorzata mindig egész. Tegyük fel, hogy az x és az x^2-5x is egész, ekkor biztos, hogy vagy x osztója az 500-nak. Negatív szám biztosan nem lehet gyöke, mivel tetszőleges negatív számra ez (negatív)*(pozitív) alakú lesz, így, ha van gyöke, akkor 500 pozitív osztói között kell keresnünk. x lehetséges értékei: {1;2;4;5;10;20;25;50;100;250;500), ezeket kell x helyére beírnunk. Ha szerencsénk van, akkor ezek közül a behelyettesítés után a függvény értéke 0 lesz, ha nem, akkor van még egy módszer, ott azt tesszük fel, hogy x racionális (külön kérésre azt is leírom, nem sokkal több az előzőnél).

Ha megvan a gyök (itt a 10 lesz), akkor utána ezt elosztva x-10-zel vagy (Horner-elrendezéssel) felírható szorzatalakban.

Az utóbbi módszer csak egész gyök feltételezésével működik.

Van, amikor nem egész, de nem is "durva" a gyök, pl. 3/2, 1/3, ...