Hogyan kezdjem el? (Matematika, Középértékek)

Ha a kerület 20cm, akkor a négyzet egy oldala 5cm, tehát területe 25cm^2.

Nézzünk egy másik kerületet; legyen a két oldal 3 és 7cm, ekkor a terület 21cm^2, tehát azt gondoljuk, hogy négyzet esetén a szélsőérték maximum lesz.

Legyen a két oldal a és b, ekkor 2(a+b)=20, ebből a+b=10, vagyis b=10-a, tehát a két oldal a és a-10, ennek a kettőnek a szorzata a terület, vagyis a(a-10), ennek az értéknek kell kisebbnek vagy egyenlőnek lennie 25-tel:

a(a-10)≤25 /zárójelbontás

a^2-10a≤25 /-25

a^2-10a-25≤0

Számoljuk ki a gyököket; a1=~-2,07, a2=~12,07, így átírhatjuk szorzatalakban:

(a+2,07)(a-12,07)≤0

A bal oldalon szorzat van, ami csak akkor lesz kisebb 0, ha a tényezők között páratlan sok negatív van;

1. eset: a+2,07 negatív, a-12,07 pozitív, ekkor a+2,07≤0, vagyis a≤-2,07 és 0≤a-12,07, vagyis 12,07≤a. Ennek a két egyenlőtlenségnek egyszerre kellene megvalósulnia, de látható, hogy nincs olyan szám, ami igazzá tenné.

2. eset: fordítva; 0≤a+2,07, vagyis -2,07≤a, a-12,07≤0, tehát a≤12,07. Ez már a [-2,07;12,07] intervallumon igaz lesz.

Mivel a egy téglalap oldala, ezért értéke a ]0;10[ mindkét oldalon nyílt intervallumba esik. Mivel ez az intervallum teljes szélességében benne van a fenti megoldáshalmazban, ezért tetszőleges a-ra megoldása lesz a fenti egyenlőtlenségnek; ez azt jelenti, hogy a négyzet területe tényleg szélsőérték lesz, méghozzá maximum.

K=20=2*(a+b) //a kerület ismeretében ki tudod fejezni az egyik oldalt a másikkal

a+b=10 tehát: b=10-a

T=a*b //Téglalap területe általánosan

T=a*(10-a)=-a^2+10a //Behelyettesíted "b=10-a"-t

T'=-2a+10=2*(5-a) //Egyet deriválsz

2*(5-a)=0 //A derivált értéke legyen 0, ugyanis ott van a függvénynek szélsőértéke

a=5 //Ell.: 4*5 az pont 20.

Nem vagyok benne biztos hogy egy középértékes feladat, sokkal inkább analízis és azon belül is szélsőérték számítás, vagy deriválás.

Mindenesetre először is fel kell írni a képleteket itt is, mint mindig ha meg akarsz oldani egy feladatot. Téglalap kerülete K=2*(a+b)=20, területe T=a*b.

Két darab kétismeretlenes egyenlet, átrendezés után:

2*a+2*b=20 -> 2*a=20-2*b -> a=(20-2*b)/2=10-b

T=a*b=(10-b)*b=10*b-b^2

Állítás: T maximális (vagy minimális) ha a=5 és b=5 azaz a terület 25cm^2.

T határértékeit pl úgy lehet meghatározni ha f(T) függvényt lederiválod és egyenlővé teszed 0-val, (második derivált megmondja hogy maximum vagy minimum) de gondolom ezt nem tanultad még, ezért másik egyszerű módszer ha felrajzolod a függvényt. (feltételezem hogy ismered a másodfokú függvény görbéjét) Ezt lehet a tanult módszerekkel vagy úgy hogy mintákat veszel majd összekötöd.

Ha fel akarod rajzolni először át kell alakítanod y=(x+a)^2 formára.

Gondolom tanultad hogy (x-y)^2=x^2-2*x*y+y^2

T=10*b-b^2=-1*(b^2-10*b)

itt b=x, 10*b=2*b*5=2*x*y, tehát y=5, és kell még egy y^2 ami ezek szerint 5^2=25.

T=-1*( b^2-10*b+25 -25)=-1*(b^2-10*b+25)+25

T=-1*(b-5)^2+25

Ezt már föl lehet rajzolni: -1 megmondja hogy fejjel lefelé lesz a függvény, -5 miatt 5-el jobbra kell tolni, 25 miatt 5-el fölfele.

Ha minden igaz ez megjeleníti a gráfot:

[link]

Ebből az látszik hogy a T legmagasabban 25-nél van, b=5 helyen. Tehát az állítás igaz hogy a=5, b=5-nél a terület 25cm2 és ez globális maximuma a függvények tehát egy szélsőérték.

De bizony, tipikus középértékes!

számtani és mértani közepek között:

gyök(ab) <= (a+b)/2

itt a+b = 10cm és T=ab, ezért:

gyök(T) <= 5

T <= 25

és egyenlőség akkor van, ha a=b

Az első teljesen rossz!!

nem a(a-10) hanem a(10-a) kellene és ekkor teljes négyzet jön ki....