Hogy lehet negatív számból négyzetgyököt vonni?

Miért ne lehetne a valós számok halmazán négyzetgyököt vonni? 6,25 négyzetgyöke 2,5.

Negatív számból a gyökvonást úgy oldották meg, hogy azt mondták a -1 gyöke az legyen i. Aztán ezzel már lehet számolni :)

-8 négyzetgyöke a komplex számok halmazán i * gyök 8, ahol az i az imaginárius szám (-1-nek a gyöke)

általánosan pedig -x gyöke (ahol x nem negatív): i * gyök x

A -4-ből, ha gyököt akarsz vonni, az felbontható úgy, hogy (-1)*4

Ebből a -1 gyöke az i, a 4-nek a 2 vagy a -2. Tehát az eredmény 4*i vagy -4*i lesz, vagyis tisztán képzetes szám.

Minden valós negatív szám négyzetgyöke tisztán képzetes szám, mindig ketten vannak és mindig így lehet kiszámolni.

Általánosságban egy szám N. gyökei egy körön helyezkednek el az origó körül, aminek a sugara a szám abszolút értékének N. gyöke, és szabályos sokszögre osztják a kört.

Tehát pl. a -8 3. gyökei hárman vannak, az abszolút értékük 2 és egy origó körüli egyenlő oldalú háromszög csúcspontjai. Az egyik gyök a -2 (valós szám), a másik kettő olyan szám, aminek van valós és képzetes része is, és egymás tükörképei az x tengelyre.

Ha többet szeretnél tudni, akkor tanuld meg a komplex számokat. Nem nagyon bonyolult, ha a valós számokat már jól ismered és van egy kis térlátásod.

Az egésznek az alapja, hogy a valós számokat ugye egy számegyenesen ábrázoljuk. A negatív számok gyöke nincs értelmezve ezen az egyenesen, tehát nem lehet elhelyezni őket rajta. Ezért kiterjesztették a számegyenest, bevezettek még egy "irányt", ahogy a derékszögű koordinátarendszerben az x tengely mellé felrajzoljuk az y tengelyt. Így már egy egyenes helyett egy egész síkot kapunk, ez a komplex számsík.

Ezen a síkon már felrajzolhatunk olyan számokat is, amik nincsenek a valós számegyenesen, hanem mondjuk felette vagy alatta. Vagyis bejön egy új érték (ahogy az x mellé az y koordináta). A valós számegyenes egysége az 1-es szám, a másik (képzetes) koordináta pedig az i lesz.

i=gyök(-1)

Ezért "képzetes" tengely, mert nem "valós", csak elképzeljük, hogy legyen egy ilyen szám. :)

[link]

A képen a "3+2i" egy komplex szám. Van egy valós összetevője (3) és egy képzetes (2i), mintha két koordináta lenne. A "3+2i" konkrétan a szám algebrai alakja, de minden komplex számnak van trigonometrikus és exponenciális alakja is. Ugyanaz a szám, csak másképp felírva.