Összeszoroztunk két csupa 9-esekből álló egész számot, egy m és egy n jegyűt. Mennyi a szorzat számjegyeinek összege?

ha elkezded felirkálni, hogy 9x9 9x99 9x999... 99x99 99x999 99x9999... 999x999 999x9999 999x9999 stb. akkor azt lehet észrevenni, hogy van benne 1 db egyes, 1 db nyolcas, valahány nulla és annyi kilences, mint amennyi a nagyobbik szám kilenceseinek száma mínusz egy.

ebből meg már adódik az első által adott megoldás.

Tehat, legyen m < n.

Ekkor az egyik szorzotenyezo m kilencesebol mindegyik a masik utolso kilencesevel szorozva general a sajat helyierteken egy egyest, es az elozon egy nyolcast. A masik utolso elotti stb kilencesevel szorozva ugyanez csak eggyel eltolva.

Kilenccel mindenkepp oszthato lesz a szorzat, mivel mindket tenyezo oszthato kilenccel, tehat a szamjegyeinek az osszege is csak 9 tobbszorose lehet (mivel ez a kilenccel oszthatosag szabalya), az pedig hogy miert annyi kilences jon ki amennyi latszik ha nekiallsz irasban osszeszorozni oket, gyakorlatilag amig van az n-bol addig eltolas tortenik (nullak jonnek be), amikor nincs az n-bol onnantol kilencesek jonnek.

9999999999 * 9999999 peldaul 99999989990000001

Van két számunk ami csak kilencesekből áll. Az ilyen számokat szorzatalakra bonthatjuk, amit a legkényelmesebb módon úgy tehetjük meg hogy leosztunk 9-el és akkor lesz egy kilencesünk és egy rakat egyesünk azonos számú mint korábban kilencesünk. Írásban szorozni egyesekkel nagyon egyszerű, ugyanis csak eltolva lemásolod lényegében a fel nem bontod szorzótényezőt.

De nézzük meg hogy mi történik ha 9-el szorzunk be egy ilyen számot. Tudjuk hogy 9×9=81 az egyest leírjuk az írásbeli szorzásnál a maradékot átvisszük a következő helyiértékre. (9×9)+8=89 leírjuk a kilencest és a maradék megint nyolc, ezt addig ismételjük amíg el nem jutunk a szám végére amikor kiírjuk egészen és egy 89 taggal zárjuk le az egészen.

Szóval van egy 899....991 számjegyünk amit meg kell szoroznunk egy egy csupa egyesből álló számmal. Nézzünk egy kellően nagy számot, szemléltetésképpen:

9999999999×99999999999= 9999999999×9×11111111111

9999999999×9=89999999991

8999999991×11111111111

----------

89999999991

89999999991

89999999991

89999999991

89999999991

89999999991

89999999991

89999999991

89999999991

89999999991

+ 89999999991

---------------------

9999999998900000000001

Ami nagyon szépen látszik az eredményen, hogy amíg csak kilencesek és egyeseket adunk össze (vagyis nincs tízes összegmaradék), addig nincs probléma a dologra amíg csak egyeseket kilencesek és a maradékot adogatjuk össze. Mer ezek összege (n-1)9+n-2+1= (n-1)×9+n-1=10n-10 mindig osztható tízzel eddig nincs csak akkor amikor az első nyolcas is betolakodik az éterbe. Akkor ugyanis az összeg csak nyolccal nő a a szokásos kilenc helyett és így csak kilences szerepel a végén. Csökken eggyel a maradék ráadásul az egyik egyes is kiesik és a helyzet továbbra fennáll így lesz benne egy nyolcas itt. Utána viszont már csak megint a kilencesek száma csökken így a mérlegösszeg permanensen kilencre végződik, hasonló okok miatt mint az első részében a a számnak. Szóval a szám tartalmaz így a helyi értékek miatt a 9 n/m számösszegű számánál eggyel kevesebb nullát, egy egyest a maradék a törés miatt egy nyolcast a többi csupa kilencest. Van (n v. m)+1 számjegyed viszont két számjegy összege pont kilenc így az n+1 szám összege 9 n v. m lesz, attól függ melyik számot szorzod melyikkel.